【八年级上册一次函数经典例题】在初中数学的学习过程中，一次函数是一个非常重要的知识点，也是中考中常见的考点之一。它不仅考察学生对函数概念的理解，还涉及到图像的绘制、解析式的求解以及实际问题的应用。为了帮助同学们更好地掌握这一部分知识，下面整理了几道八年级上册一次函数的经典例题，并附有详细解析，供同学们参考和练习。
一、基础概念回顾
一次函数的一般形式为：
$$ y = kx + b $$
其中，$ k $ 是斜率（即函数的变化率），$ b $ 是截距（即当 $ x = 0 $ 时，函数的值）。
- 当 $ k > 0 $ 时，函数图像从左向右上升；
- 当 $ k < 0 $ 时，函数图像从左向右下降；
- 当 $ k = 0 $ 时，函数变为常数函数 $ y = b $。
二、经典例题解析
例题1：求一次函数的解析式
已知某一次函数的图象经过点 $ A(2, 5) $ 和 $ B(-1, -1) $，求该函数的解析式。
解析：
设该一次函数为 $ y = kx + b $。
将点 $ A(2, 5) $ 代入得：
$$ 5 = 2k + b \quad \text{（1）} $$
将点 $ B(-1, -1) $ 代入得：
$$ -1 = -k + b \quad \text{（2）} $$
由（1）和（2）联立方程组：
$$
\begin{cases}
2k + b = 5 \\
-k + b = -1
\end{cases}
$$
用代入法或消元法解这个方程组：
从（2）式得：
$$ b = k - 1 $$
代入（1）式：
$$ 2k + (k - 1) = 5 $$
$$ 3k - 1 = 5 $$
$$ 3k = 6 $$
$$ k = 2 $$
代入 $ b = k - 1 $ 得：
$$ b = 2 - 1 = 1 $$
所以，该一次函数的解析式为：
$$ y = 2x + 1 $$
例题2：根据图像判断函数关系
下图是一次函数的图像，根据图像判断其解析式。
（假设图像为一条直线，过点 $ (0, 3) $ 和 $ (2, 7) $）
解析：
由图像可知，该函数经过点 $ (0, 3) $，说明截距 $ b = 3 $。
再取另一点 $ (2, 7) $，代入 $ y = kx + 3 $ 中：
$$ 7 = 2k + 3 $$
$$ 2k = 4 $$
$$ k = 2 $$
因此，该一次函数的解析式为：
$$ y = 2x + 3 $$
例题3：实际问题中的应用
某地出租车的计价方式为：起步价为8元，行驶不超过3公里；超过3公里后，每公里加收2元。请写出该出租车费用与行驶路程之间的函数关系式，并计算行驶5公里时的费用。
解析：
设行驶路程为 $ x $ 公里，费用为 $ y $ 元。
当 $ x \leq 3 $ 时，费用固定为8元，即：
$$ y = 8 $$
当 $ x > 3 $ 时，超出部分为 $ x - 3 $ 公里，每公里2元，因此总费用为：
$$ y = 8 + 2(x - 3) = 2x + 2 $$
综上所述，函数关系式为分段函数：
$$
y =
\begin{cases}
8 & (x \leq 3) \\
2x + 2 & (x > 3)
\end{cases}
$$
当 $ x = 5 $ 时，代入第二部分：
$$ y = 2 \times 5 + 2 = 12 $$
所以，行驶5公里时的费用为12元。
三、总结
通过以上几道经典例题可以看出，一次函数在初中阶段主要涉及以下几个方面：
- 求解析式（已知两点或点与斜率）
- 图像与解析式的对应关系
- 实际问题中的建模与应用
建议同学们在学习过程中多做练习，注重理解函数图像与解析式的联系，并尝试将所学知识应用于生活中的实际问题中，从而提升自己的数学思维能力。
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