在数学学习中，等差数列是一个非常重要的概念，而其前n项和公式的应用更是解决实际问题的关键工具。今天，我们将通过一系列习题来深入理解并熟练掌握这一知识点。
首先，让我们回顾一下等差数列及其前n项和的基本定义：
- 等差数列是指一个数列，其中每一项与它的前一项之间的差是固定的常数，这个常数称为公差。
- 前n项和公式为 \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)，其中 \( a \) 是首项，\( d \) 是公差，\( n \) 是项数。
接下来，我们来看几个具体的例子：
例题1：
已知等差数列的首项 \( a = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求前5项的和。
解：
根据公式 \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)，代入已知条件：
\[
S_5 = \frac{5}{2} [2 \cdot 3 + (5-1) \cdot 2]
\]
\[
S_5 = \frac{5}{2} [6 + 8] = \frac{5}{2} \cdot 14 = 35
\]
因此，前5项的和为35。
例题2：
一个等差数列的第10项是50，公差是5，求首项。
解：
设首项为 \( a \)，根据等差数列的通项公式 \( a_n = a + (n-1)d \)，我们可以写出第10项的表达式：
\[
a_{10} = a + 9d
\]
代入已知条件 \( a_{10} = 50 \) 和 \( d = 5 \)：
\[
50 = a + 9 \cdot 5
\]
\[
50 = a + 45
\]
\[
a = 5
\]
因此，首项为5。
例题3：
已知等差数列的前10项和 \( S_{10} = 200 \)，公差 \( d = 4 \)，求首项。
解：
利用前n项和公式 \( S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] \)，代入已知条件：
\[
200 = \frac{10}{2} [2a + (10-1) \cdot 4]
\]
\[
200 = 5 [2a + 36]
\]
\[
200 = 10a + 180
\]
\[
10a = 20
\]
\[
a = 2
\]
因此，首项为2。
通过以上三个例题，我们可以看到，熟练掌握等差数列的前n项和公式对于解决相关问题至关重要。希望同学们在课后能够多加练习，巩固所学知识，提高解题能力。
最后，总结一下今天的重点：
1. 等差数列的定义及其性质。
2. 前n项和公式的应用。
3. 通过具体实例加深对公式的理解和运用。
希望大家在今后的学习中能够灵活运用这些知识，解决更多的数学问题！
