【矩阵乘法计算公式】矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，广泛应用于计算机图形学、机器学习、物理学等多个领域。理解矩阵乘法的计算规则和过程，有助于更好地掌握相关领域的知识。
一、矩阵乘法的基本概念
矩阵乘法是指两个矩阵之间进行的一种二元运算，其结果是一个新的矩阵。设矩阵 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 矩阵，矩阵 $ B $ 是一个 $ n \times p $ 矩阵，那么它们的乘积 $ C = AB $ 是一个 $ m \times p $ 的矩阵。
注意： 只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时，才能进行矩阵乘法运算。
二、矩阵乘法的计算规则
矩阵乘法的每个元素 $ c_{ij} $ 的计算方法如下：
$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
$$
其中：
- $ a_{ik} $ 是矩阵 $ A $ 中第 $ i $ 行第 $ k $ 列的元素；
- $ b_{kj} $ 是矩阵 $ B $ 中第 $ k $ 行第 $ j $ 列的元素；
- $ c_{ij} $ 是结果矩阵 $ C $ 中第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素。
换句话说，$ c_{ij} $ 是矩阵 $ A $ 的第 $ i $ 行与矩阵 $ B $ 的第 $ j $ 列对应元素的乘积之和。
三、矩阵乘法的示例
假设矩阵 $ A $ 和 $ B $ 分别为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8 \\
\end{bmatrix}
$$
那么它们的乘积 $ C = AB $ 为：
$$
C = \begin{bmatrix}
(1 \cdot 5 + 2 \cdot 7) & (1 \cdot 6 + 2 \cdot 8) \\
(3 \cdot 5 + 4 \cdot 7) & (3 \cdot 6 + 4 \cdot 8) \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50 \\
\end{bmatrix}
$$
四、矩阵乘法的总结表
| 运算名称 | 矩阵乘法 |
| 输入类型 | 矩阵 $ A $（$ m \times n $） 矩阵 $ B $（$ n \times p $） |
| 输出类型 | 矩阵 $ C $（$ m \times p $） |
| 计算方式 | $ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} $ |
| 举例 | $ A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$ $ B = \begin{bmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{bmatrix}$ $ C = \begin{bmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{bmatrix} $ |
| 注意事项 | 第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数 |
五、小结
矩阵乘法是一种基于行与列的加权求和运算，其核心在于将两个矩阵的对应位置进行逐项乘积后求和。正确理解和应用矩阵乘法公式，对于后续的线性变换、特征值分析等高级数学操作具有重要意义。通过表格形式的总结，可以更清晰地掌握其规则与应用。
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