【代数余子式怎么求例子】在学习线性代数的过程中，代数余子式是一个重要的概念，尤其在计算行列式和矩阵的逆时经常用到。理解代数余子式的定义及其求法，有助于更好地掌握行列式的展开方法。
一、代数余子式的定义
对于一个 n 阶方阵 A，其元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式（或称为余子式）记作 $ A_{ij} $，它是由去掉第 i 行和第 j 列后得到的 (n-1) 阶行列式乘以 $ (-1)^{i+j} $ 得到的值。
公式表示为：
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的余子式，即去掉第 i 行和第 j 列后的行列式。
二、代数余子式的求法步骤
1. 确定目标元素位置：找到要计算代数余子式的元素所在行和列。
2. 去掉对应行和列：将该元素所在的行和列去掉，形成一个较小的矩阵。
3. 计算余子式：对这个较小的矩阵计算其行列式。
4. 乘上符号因子：根据该元素的位置 (i, j)，乘上 $ (-1)^{i+j} $。
三、实例解析
以下通过一个具体的例子来说明如何计算代数余子式。
示例矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
我们以元素 $ a_{22} = 5 $ 为例，求其代数余子式 $ A_{22} $。
步骤如下：
1. 元素 $ a_{22} $ 位于第 2 行第 2 列。
2. 去掉第 2 行和第 2 列，剩下的矩阵为：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
3. 计算余子式 $ M_{22} $：
$$
M_{22} = (1)(9) - (3)(7) = 9 - 21 = -12
$$
4. 计算符号因子 $ (-1)^{2+2} = (-1)^4 = 1 $
5. 所以，代数余子式 $ A_{22} = 1 \times (-12) = -12 $
四、代数余子式计算总结表
| 元素位置 | 原矩阵中的值 | 去掉行/列后矩阵 | 余子式 $ M_{ij} $ | 符号因子 $ (-1)^{i+j} $ | 代数余子式 $ A_{ij} $ |
| (1,1) | 1 | $\begin{bmatrix}5&6\\8&9\end{bmatrix}$ | $5×9 - 6×8 = 45 - 48 = -3$ | $(-1)^{1+1}=1$ | $1 × (-3) = -3$ |
| (1,2) | 2 | $\begin{bmatrix}4&6\\7&9\end{bmatrix}$ | $4×9 - 6×7 = 36 - 42 = -6$ | $(-1)^{1+2}=-1$ | $-1 × (-6) = 6$ |
| (1,3) | 3 | $\begin{bmatrix}4&5\\7&8\end{bmatrix}$ | $4×8 - 5×7 = 32 - 35 = -3$ | $(-1)^{1+3}=1$ | $1 × (-3) = -3$ |
| (2,1) | 4 | $\begin{bmatrix}2&3\\8&9\end{bmatrix}$ | $2×9 - 3×8 = 18 - 24 = -6$ | $(-1)^{2+1}=-1$ | $-1 × (-6) = 6$ |
| (2,2) | 5 | $\begin{bmatrix}1&3\\7&9\end{bmatrix}$ | $1×9 - 3×7 = 9 - 21 = -12$ | $(-1)^{2+2}=1$ | $1 × (-12) = -12$ |
| (2,3) | 6 | $\begin{bmatrix}1&2\\7&8\end{bmatrix}$ | $1×8 - 2×7 = 8 - 14 = -6$ | $(-1)^{2+3}=-1$ | $-1 × (-6) = 6$ |
| (3,1) | 7 | $\begin{bmatrix}2&3\\5&6\end{bmatrix}$ | $2×6 - 3×5 = 12 - 15 = -3$ | $(-1)^{3+1}=1$ | $1 × (-3) = -3$ |
| (3,2) | 8 | $\begin{bmatrix}1&3\\4&6\end{bmatrix}$ | $1×6 - 3×4 = 6 - 12 = -6$ | $(-1)^{3+2}=-1$ | $-1 × (-6) = 6$ |
| (3,3) | 9 | $\begin{bmatrix}1&2\\4&5\end{bmatrix}$ | $1×5 - 2×4 = 5 - 8 = -3$ | $(-1)^{3+3}=1$ | $1 × (-3) = -3$ |
五、小结
代数余子式的计算过程虽然看似繁琐，但只要按照步骤进行，就能准确地得出结果。它是行列式展开的重要工具，也是理解矩阵逆、行列式性质的基础内容。通过实际例子的练习，可以更加熟练地掌握这一知识点。
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