【等差等比数列公式所有的公式】在数学学习中，等差数列与等比数列是两个非常重要的数列类型，它们在高中数学、大学基础数学以及实际应用中都占据着重要地位。掌握它们的公式对于解决相关问题至关重要。以下是对等差数列和等比数列所有公式的总结，便于查阅和记忆。
一、等差数列公式
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为“公差”，记作 $ d $。
1. 通项公式
第 $ n $ 项 $ a_n $ 与首项 $ a_1 $ 和公差 $ d $ 的关系为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
2. 前 $ n $ 项和公式
前 $ n $ 项和 $ S_n $ 的公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
3. 中间项性质（等差中项）
若 $ a, b, c $ 成等差数列，则有：
$$
b = \frac{a + c}{2}
$$
二、等比数列公式
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为“公比”，记作 $ q $。
1. 通项公式
第 $ n $ 项 $ a_n $ 与首项 $ a_1 $ 和公比 $ q $ 的关系为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
2. 前 $ n $ 项和公式
前 $ n $ 项和 $ S_n $ 的公式为：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \quad (q \neq 1)
$$
当 $ q = 1 $ 时，数列为常数列，此时：
$$
S_n = n \cdot a_1
$$
3. 中间项性质（等比中项）
若 $ a, b, c $ 成等比数列，则有：
$$
b^2 = a \cdot c
$$
三、对比表格
| 类型 | 公式名称 | 公式表达式 |
| 等差数列 | 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | |
| 等差中项 | $ b = \frac{a + c}{2} $ | |
| 等比数列 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 前n项和（q ≠ 1） | $ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} $ | |
| 前n项和（q = 1） | $ S_n = n \cdot a_1 $ | |
| 等比中项 | $ b^2 = a \cdot c $ |
四、小结
等差数列和等比数列是数列中的两种基本形式，它们各自具有独特的规律和公式。理解并熟练运用这些公式，不仅可以帮助我们快速求解数列问题，还能在实际问题中进行有效建模和分析。建议在学习过程中多做练习题，以加深对公式的理解和应用能力。
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