【等比数列的公式有哪些】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。掌握等比数列的相关公式，有助于我们快速解决实际问题和数学题。以下是对等比数列常用公式的总结。
一、基本概念
- 首项（a）：数列的第一个数。
- 公比（r）：数列中任意两项之间的比值，即 $ r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} $。
- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数。
- 前n项和（Sₙ）：数列前n项的总和。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a \cdot r^{n-1} $ | 计算等比数列第n项的值 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 计算前n项的和 | ||
| 当 $ r = 1 $ 时 | $ S_n = a \cdot n $ | 当公比为1时，所有项都相等 | ||
| 等比中项公式 | $ b = \sqrt{a \cdot c} $ | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则b为a与c的等比中项 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项和存在 |
三、应用举例
例如，已知一个等比数列的首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求第5项及前5项的和：
- 第5项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
- 前5项和：$ S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot 121 = 242 $
四、注意事项
- 公比 $ r $ 不能为0，否则数列将变为0序列，失去意义。
- 当公比 $ r = 1 $ 时，数列为常数列，各项相等。
- 在使用无穷等比数列和公式时，必须确保公比的绝对值小于1，否则和不存在或发散。
通过以上总结，我们可以更清晰地了解等比数列的公式及其应用场景。掌握这些公式，不仅有助于解题，还能提升对数列规律的理解能力。
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