【初等数论求最大公因数例题】在初等数论中，求两个或多个整数的最大公因数（GCD）是一项基础而重要的技能。最大公因数是指能够同时整除这些数的最大的正整数。常见的求法包括辗转相除法、分解质因数法和短除法等。以下通过几个典型例题对求最大公因数的方法进行总结，并以表格形式展示答案。
一、例题解析
例题1：求84与126的最大公因数
- 方法：分解质因数法
- 84 = 2² × 3 × 7
- 126 = 2 × 3² × 7
- 公共质因数为 2、3、7
- 最小指数：2¹、3¹、7¹
- GCD = 2 × 3 × 7 = 42
例题2：求105与140的最大公因数
- 方法：辗转相除法
- 140 ÷ 105 = 1 余 35
- 105 ÷ 35 = 3 余 0
- 所以 GCD = 35
例题3：求24、36、60的最大公因数
- 方法：分解质因数法
- 24 = 2³ × 3
- 36 = 2² × 3²
- 60 = 2² × 3 × 5
- 公共质因数为 2 和 3
- 最小指数：2²、3¹
- GCD = 2² × 3 = 12
例题4：求135与225的最大公因数
- 方法：短除法
- 135 ÷ 5 = 27
- 225 ÷ 5 = 45
- 27 ÷ 3 = 9
- 45 ÷ 3 = 15
- 9 ÷ 3 = 3
- 15 ÷ 3 = 5
- 公共因数为 5、3、3
- GCD = 5 × 3 × 3 = 45
二、例题总结表
| 例题编号 | 数字组合 | 使用方法 | 最大公因数 |
| 1 | 84 和 126 | 分解质因数法 | 42 |
| 2 | 105 和 140 | 辗转相除法 | 35 |
| 3 | 24、36、60 | 分解质因数法 | 12 |
| 4 | 135 和 225 | 短除法 | 45 |
三、结语
求最大公因数是数论中的基本运算之一，掌握多种方法有助于灵活应对不同类型的题目。对于较小的数字，分解质因数法较为直观；对于较大的数字，辗转相除法更为高效。实际应用中，结合具体问题选择合适的方法，可以提高解题效率与准确性。
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