【常用三角函数转换公式】在数学学习和应用中，三角函数是重要的工具之一，尤其在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。为了便于理解和使用，掌握一些常用的三角函数转换公式非常关键。以下是对常见三角函数转换公式的总结，并以表格形式进行整理，方便查阅。
一、基本关系式
三角函数的基本关系式是理解其他转换公式的前提，主要包括：
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ | 平方和关系 |
| $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ | 正切与余割的关系 |
| $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | 余切与正割的关系 |
二、诱导公式（角度变换）
当角度发生变化时，如加减π/2、π、2π等，三角函数值也会相应变化，以下是常见的诱导公式：
| 角度变换 | 公式 | 说明 |
| $\sin(\pi - \theta)$ | $\sin \theta$ | 余角公式 |
| $\cos(\pi - \theta)$ | $-\cos \theta$ | 余角公式 |
| $\sin(\pi + \theta)$ | $-\sin \theta$ | 对称公式 |
| $\cos(\pi + \theta)$ | $-\cos \theta$ | 对称公式 |
| $\sin(2\pi - \theta)$ | $-\sin \theta$ | 周期性公式 |
| $\cos(2\pi - \theta)$ | $\cos \theta$ | 周期性公式 |
| $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ | $\cos \theta$ | 互余公式 |
| $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ | $\sin \theta$ | 互余公式 |
三、和差角公式
用于计算两个角度的和或差的三角函数值，适用于解题和推导：
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ | 和差角公式 |
| $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ | 和差角公式 |
| $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ | 和差角公式 |
四、倍角公式
用于将角度加倍后的三角函数表达为原角度的函数：
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ | 二倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ | 二倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ | 二倍角公式 |
五、半角公式
用于将角度减半后的三角函数表示为原角度的函数：
| 公式 | 说明 |
| $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}$ | 半角公式 |
六、积化和差公式
将乘积形式的三角函数转换为和差形式，常用于积分和简化运算：
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)]$ | 积化和差 |
七、和差化积公式
将和或差形式的三角函数转换为乘积形式，便于进一步分析：
| 公式 | 说明 |
| $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$ | 和差化积 |
总结
以上内容涵盖了三角函数中常用的转换公式，包括基本关系、角度变换、和差角、倍角、半角、积化和差以及和差化积等多种类型。这些公式不仅有助于解决实际问题，也是进一步学习高等数学的重要基础。建议在学习过程中结合具体例题进行练习，以加深理解并提高运用能力。
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