【10个泰勒展开式常用公式】在数学中，泰勒展开式是一种将函数表示为无穷级数的方法，它在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。泰勒展开式的核心思想是用多项式来近似一个函数，特别是在某个点附近的表现。下面列出的是10个常见的泰勒展开式公式，它们在不同领域中被频繁使用。

1. e^x 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

$$

2. sin(x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

$$

3. cos(x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}

$$

4. ln(1+x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}, \quad x < 1

$$

5. ln(1-x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad x < 1

$$

6. (1+x)^a 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

(1+x)^a = 1 + a x + \frac{a(a-1)}{2!} x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!} x^3 + \cdots

$$

这是二项式展开的推广形式，适用于任意实数 $ a $。

7. arctan(x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad x \leq 1

$$

8. tan(x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots

$$

该展开式的通项较为复杂，通常用于数值计算或近似分析。

9. sinh(x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

$$

10. cosh(x) 的泰勒展开式（以0为中心）

$$

\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}

$$

这些泰勒展开式不仅在理论研究中具有重要意义，也在实际应用中发挥着巨大作用，如信号处理、数值分析、物理学中的微分方程求解等。掌握这些公式有助于更深入地理解函数的行为和性质。