【求高中三角函数所有公式归纳】在高中数学中，三角函数是一个非常重要的内容，涉及角度、弧度、函数图像、周期性、对称性以及各种变换和公式。掌握这些公式不仅能帮助学生解决实际问题，还能为后续的数学学习打下坚实的基础。以下是对高中阶段所学的所有三角函数公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本概念与定义
| 名称 | 定义 |
| 正弦（sin） | 在直角三角形中，对边与斜边的比值；单位圆中，纵坐标 |
| 余弦（cos） | 在直角三角形中，邻边与斜边的比值；单位圆中，横坐标 |
| 正切（tan） | 在直角三角形中，对边与邻边的比值；单位圆中，sin/cos |
| 余切（cot） | tan的倒数，即cos/sin |
| 正割（sec） | cos的倒数 |
| 余割（csc） | sin的倒数 |
二、三角函数的基本关系式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 由基本恒等式推导而来 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 同上 |
| $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ | 余切与正弦、余弦的关系 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度 | 公式 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 对称于y轴 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 对称于y轴 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 对称于原点 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 对称于原点 |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ | 周期性 |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ | 周期性 |
四、和差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ | 正弦的和差公式 |
| $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ | 余弦的和差公式 |
| $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ | 正切的和差公式 |
五、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ | 二倍角公式 |
| $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 多种表达方式 |
| $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的二倍角公式 |
六、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 半角公式 |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ | 正切的半角公式 |
七、积化和差公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ | 积化和差 |
| $\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]$ | 积化和差 |
| $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ | 积化和差 |
| $\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$ | 积化和差 |
八、和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ | 和差化积 |
九、特殊角的三角函数值
| 角度（°） | 弧度（rad） | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45 | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60 | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | $\frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 无意义 |
十、三角函数图像与性质
| 函数 | 图像 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
| $\sin x$ | 波浪线 | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 奇函数 |
| $\cos x$ | 波浪线 | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 偶函数 |
| $\tan x$ | 双曲线 | $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇函数 |
| $\cot x$ | 双曲线 | $\mathbb{R} \setminus \left\{k\pi\right\}$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇函数 |
| $\sec x$ | 双曲线 | $\mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi\right\}$ | $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ | $2\pi$ | 偶函数 |
| $\csc x$ | 双曲线 | $\mathbb{R} \setminus \left\{k\pi\right\}$ | $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ | $2\pi$ | 奇函数 |
通过以上表格和文字说明，可以系统地掌握高中阶段三角函数的主要公式与性质。建议在学习过程中多做练习题，结合图像理解函数的变化规律，从而更好地掌握这一部分内容。
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