【全微分方程的通解例题】在微分方程的学习中，全微分方程是一个重要的类型。它指的是形如 $ M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0 $ 的方程，其中满足条件 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$，即该方程是某个二元函数 $ u(x, y) $ 的全微分。这类方程的通解可以通过寻找原函数 $ u(x, y) = C $ 来得到。
以下是一些典型的全微分方程及其通解的例题总结：
一、例题解析
| 题号 | 方程形式 | 是否为全微分方程 | 求解步骤 | 通解 |
| 1 | $ (2x + y) \, dx + (x + 2y) \, dy = 0 $ | 是 | 1. 检查 $\frac{\partial M}{\partial y} = 1$，$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$ 2. 设 $ u(x, y) = \int (2x + y) dx + h(y) $ 3. 对 $ y $ 求偏导，求出 $ h(y) $ 4. 得到 $ u(x, y) = x^2 + xy + y^2 $ | $ x^2 + xy + y^2 = C $ |
| 2 | $ (3x^2 + 2xy) \, dx + (x^2 + 2y) \, dy = 0 $ | 是 | 1. $\frac{\partial M}{\partial y} = 2x$，$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x$ 2. $ u(x, y) = \int (3x^2 + 2xy) dx + h(y) $ 3. 求偏导得 $ h'(y) = 2y $，积分得 $ h(y) = y^2 $ 4. $ u(x, y) = x^3 + x^2 y + y^2 $ | $ x^3 + x^2 y + y^2 = C $ |
| 3 | $ (2xy - 3y^2) \, dx + (x^2 - 6xy) \, dy = 0 $ | 是 | 1. $\frac{\partial M}{\partial y} = 2x - 6y$，$\frac{\partial N}{\partial x} = 2x - 6y$ 2. $ u(x, y) = \int (2xy - 3y^2) dx + h(y) $ 3. 求偏导得 $ h'(y) = 0 $，故 $ h(y) = C $ 4. $ u(x, y) = x^2 y - 3xy^2 $ | $ x^2 y - 3xy^2 = C $ |
| 4 | $ (e^x \cos y) \, dx - (e^x \sin y) \, dy = 0 $ | 是 | 1. $\frac{\partial M}{\partial y} = -e^x \sin y$，$\frac{\partial N}{\partial x} = -e^x \sin y$ 2. $ u(x, y) = \int e^x \cos y \, dx + h(y) = e^x \cos y + h(y) $ 3. 求偏导得 $ h'(y) = 0 $，故 $ h(y) = C $ 4. $ u(x, y) = e^x \cos y $ | $ e^x \cos y = C $ |
二、总结
全微分方程的求解关键在于判断是否满足全微分条件，即 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$。若满足，则可通过积分法构造原函数 $ u(x, y) $，并将其设为常数得到通解。
通过上述例题可以看出，全微分方程的通解通常由一个关于 $ x $ 和 $ y $ 的函数构成，其形式多样，但解题思路基本一致：验证条件 → 构造原函数 → 写出通解。
注意：若方程不满足全微分条件，可能需要引入积分因子使其变为全微分方程后再进行求解。
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