【常用函数的不确定度传递公式】在实验测量中，为了准确评估测量结果的可靠性，通常需要计算由输入量的不确定度对输出量的影响。这种影响可以通过“不确定度传递公式”进行估算。以下是对一些常用数学函数的不确定度传递公式的总结。
一、基本概念
不确定度传递是基于微分法或泰勒展开近似的方法，用于计算由多个独立变量引起的最终结果的不确定度。假设某个函数 $ y = f(x_1, x_2, \dots, x_n) $，每个变量 $ x_i $ 的标准不确定度为 $ u(x_i) $，则函数 $ y $ 的标准不确定度 $ u(y) $ 可以通过以下公式计算：
$$
u(y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 u^2(x_i)}
$$
该公式适用于各变量之间相互独立的情况。
二、常见函数的不确定度传递公式
| 函数形式 | 不确定度传递公式 | 备注 | ||
| $ y = a x $ | $ u(y) = | a | u(x) $ | 线性关系，系数为常数 |
| $ y = x + z $ | $ u(y) = \sqrt{u^2(x) + u^2(z)} $ | 加法运算，独立变量 | ||
| $ y = x - z $ | $ u(y) = \sqrt{u^2(x) + u^2(z)} $ | 减法运算，同加法 | ||
| $ y = x \cdot z $ | $ u(y) = y \sqrt{\left( \frac{u(x)}{x} \right)^2 + \left( \frac{u(z)}{z} \right)^2} $ | 乘法运算，相对不确定度相加 | ||
| $ y = \frac{x}{z} $ | $ u(y) = y \sqrt{\left( \frac{u(x)}{x} \right)^2 + \left( \frac{u(z)}{z} \right)^2} $ | 除法运算，相对不确定度相加 | ||
| $ y = x^n $ | $ u(y) = | n | x^{n-1} u(x) $ | 幂函数，直接使用偏导数 |
| $ y = \ln(x) $ | $ u(y) = \frac{u(x)}{x} $ | 对数函数，相对不确定度 | ||
| $ y = e^x $ | $ u(y) = e^x u(x) $ | 指数函数，绝对不确定度 | ||
| $ y = \sin(x) $ | $ u(y) = | \cos(x) | u(x) $ | 三角函数，使用导数近似 |
| $ y = \tan(x) $ | $ u(y) = | \sec^2(x) | u(x) $ | 正切函数，导数为 $ \sec^2(x) $ |
三、注意事项
1. 上述公式均基于线性近似（即一阶泰勒展开），适用于小不确定度范围。
2. 若变量间存在相关性，则需考虑协方差项，公式变为：
$$
u(y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} \text{Cov}(x_i, x_j)}
$$
3. 实际应用中应根据具体函数和测量条件选择合适的传递方式。
通过掌握这些常用的不确定度传递公式，可以更科学地分析和评价实验数据的可靠性，为后续的数据处理和结论推导提供依据。
