【阿氏圆的半径怎么求】在几何学中，阿氏圆（Apollonius Circle）是一个重要的概念，常用于解决与两个定点距离之比为定值的点的轨迹问题。阿氏圆的半径是其核心参数之一，正确计算半径有助于更深入理解该图形的性质。

一、阿氏圆的基本定义

阿氏圆是指满足以下条件的所有点的集合：

> 在平面上，到两个定点 $ A $ 和 $ B $ 的距离之比为常数 $ k \neq 1 $ 的点的轨迹。

即：

$$

\frac{PA}{PB} = k \quad (k > 0, k \neq 1)

$$

当 $ k = 1 $ 时，轨迹是一条直线（即线段 $ AB $ 的垂直平分线），不构成圆。

二、阿氏圆的半径公式

设点 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $，且 $ \frac{PA}{PB} = k $，则阿氏圆的圆心和半径可通过以下公式求得：

圆心坐标：

$$

O\left( \frac{x_1 + k^2 x_2}{1 + k^2}, \frac{y_1 + k^2 y_2}{1 + k^2} \right)

$$

半径公式：

$$

r = \frac{k \cdot AB}{1 - k^2}

$$

其中，$ AB $ 是点 $ A $ 到点 $ B $ 的距离，即：

$$

$$

三、总结与对比

四、实际应用示例

假设点 $ A(0, 0) $、$ B(4, 0) $，且 $ \frac{PA}{PB} = 2 $，则：

- $ AB = 4 $

- $ r = \frac{2 \cdot 4}{1 - 4} = \frac{8}{-3} = -\frac{8}{3} $

注意：由于半径应为正数，因此实际应取绝对值，即 $ r = \frac{8}{3} $

五、小结

阿氏圆的半径可以通过已知的两个定点和比例 $ k $ 进行计算。掌握其公式不仅有助于几何问题的解决，也能加深对轨迹问题的理解。通过表格形式整理关键参数，有助于快速查阅和记忆。

注： 阿氏圆的计算方法适用于平面几何，若涉及三维空间或其他几何模型，需相应调整公式。