【arcsinx的导数】在微积分中，反三角函数的导数是一个重要的知识点。其中，$ \arcsin x $ 是一个常见的反三角函数，其导数在数学和物理中有广泛的应用。本文将总结 $ \arcsin x $ 的导数，并以表格形式清晰展示。
一、arcsinx 导数的推导
设 $ y = \arcsin x $，则根据反函数的定义，可以得到：
$$
x = \sin y
$$
对两边关于 $ x $ 求导：
$$
\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\sin y)
$$
左边为 1，右边使用链式法则：
$$
1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}
$$
解得：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}
$$
由于 $ y = \arcsin x $，我们可以通过三角恒等式 $ \cos^2 y + \sin^2 y = 1 $ 得到：
$$
\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}
$$
因此，
$$
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
注意：该导数仅在定义域 $ (-1, 1) $ 内成立。
二、总结与表格
| 函数表达式 | 导数表达式 | 定义域 |
| $ \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ -1 < x < 1 $ |
三、注意事项
- 在实际应用中，求导时需注意变量的范围，避免出现平方根下负数的情况。
- 若题目涉及复合函数，如 $ \arcsin(u(x)) $，则需使用链式法则进行求导。
- 反函数的导数通常与原函数的导数存在倒数关系，这一点在本例中也得到了验证。
通过上述推导和总结，我们可以清楚地了解 $ \arcsin x $ 的导数及其适用范围。掌握这一知识点对于后续学习更复杂的微积分问题具有重要意义。
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