【连续与可导的关系】在微积分中，函数的连续性与可导性是两个重要的概念，它们之间有着密切的联系，但也存在明显的区别。理解两者之间的关系有助于更深入地掌握函数的性质和变化规律。
一、
函数在某一点处连续，意味着该点附近的函数值不会发生突变，图像可以一笔画出；而可导则意味着函数在该点处具有切线，其变化率是确定的。从数学上看，可导一定连续，但连续不一定可导。也就是说，可导是连续的一个更强条件。
常见的不可导但连续的情况包括：函数在某点有“尖点”或“垂直切线”，如绝对值函数在原点处；或者函数在某点不光滑，如分段定义的函数在连接点处。
为了更清晰地展示两者的区别与联系，下面通过表格进行对比总结。
二、表格对比
| 项目 | 连续 | 可导 |
| 定义 | 函数在某点的极限值等于该点的函数值 | 函数在某点的左右导数存在且相等 |
| 图像特征 | 图像无断点，可连贯画出 | 图像在该点有唯一切线，变化平滑 |
| 数学表达 | $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ | $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ 存在 |
| 关系 | 若函数在某点可导，则必连续 | 若函数在某点连续，不一定可导 |
| 典型例子 | 常见初等函数（多项式、三角函数等） | 多项式、指数函数、对数函数等 |
| 不可导但连续的例子 | 绝对值函数在 x=0 处、分段函数在连接点处 |
三、常见误区
1. 认为所有连续函数都可导：这是错误的。例如，函数 $f(x) =
2. 误以为可导函数一定是光滑的：虽然可导函数通常比较“好”，但有些函数在某点可导，但在其他点可能不光滑或不连续。
3. 忽略左右导数的差异：即使函数在某点连续，若左右导数不相等，也不能说它在该点可导。
四、结论
连续性和可导性是函数分析中的核心概念，二者既有联系又有区别。可导一定连续，但连续不一定可导。理解这一关系有助于我们在处理函数的极限、导数及实际应用时做出更准确的判断。
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