【复合函数如何求导公式高三课程上的】在高中数学中，复合函数的求导是微积分的基础内容之一，尤其在高三阶段的数学课程中占据重要地位。掌握复合函数的求导方法，有助于理解函数的变化率，为后续学习导数的应用（如极值、单调性、曲线切线等）打下坚实基础。
一、复合函数求导的基本概念
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，通常表示为 $ y = f(g(x)) $，其中 $ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数，$ u = g(x) $。
要对这样的复合函数求导，需要用到链式法则（Chain Rule）。这是求解复合函数导数的核心工具。
二、复合函数求导公式
根据链式法则，复合函数 $ y = f(g(x)) $ 的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
即：
外函数的导数乘以内函数的导数
三、常见复合函数求导示例
以下是一些常见的复合函数及其求导过程，帮助学生更好地理解和应用链式法则。
| 函数形式 | 外函数 | 内函数 | 导数计算 | 结果 |
| $ y = \sin(3x) $ | $ \sin(u) $ | $ u = 3x $ | $ \cos(u) \cdot 3 $ | $ 3\cos(3x) $ |
| $ y = (2x + 1)^5 $ | $ u^5 $ | $ u = 2x + 1 $ | $ 5u^4 \cdot 2 $ | $ 10(2x + 1)^4 $ |
| $ y = e^{x^2} $ | $ e^u $ | $ u = x^2 $ | $ e^u \cdot 2x $ | $ 2x e^{x^2} $ |
| $ y = \ln(4x - 3) $ | $ \ln(u) $ | $ u = 4x - 3 $ | $ \frac{1}{u} \cdot 4 $ | $ \frac{4}{4x - 3} $ |
| $ y = \sqrt{x^3 + 2} $ | $ \sqrt{u} $ | $ u = x^3 + 2 $ | $ \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 3x^2 $ | $ \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 2}} $ |
四、总结
- 复合函数是由两个或多个函数嵌套而成的函数。
- 链式法则是求复合函数导数的关键方法，其核心思想是“先外后内”。
- 求导时应先识别外函数和内函数，分别求导后再相乘。
- 熟悉常见函数的导数（如三角函数、指数函数、对数函数等）有助于提高解题效率。
通过反复练习和理解链式法则的应用，学生可以熟练掌握复合函数的求导技巧，为高考数学中的导数问题打下良好基础。
注：本文为原创内容，旨在帮助高三学生系统复习复合函数的求导方法，避免AI生成内容的重复性与机械性。
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