【坐标系上求三角形面积的公式是什么】在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，可以通过数学公式快速计算出该三角形的面积。这个公式不仅适用于普通坐标系，也适用于三维空间中的投影情况。以下是对这一公式的总结与说明。

一、常用公式

在二维坐标系中，若三角形的三个顶点分别为 $ A(x_1, y_1) $、$ B(x_2, y_2) $、$ C(x_3, y_3) $，则该三角形的面积可以用以下公式计算：

$$

\text{面积} = \frac{1}{2} x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)

$$

也可以用行列式形式表示为：

$$

\text{面积} = \frac{1}{2} \left \begin{vmatrix}

x_1 & y_1 & 1 \\

x_2 & y_2 & 1 \\

x_3 & y_3 & 1 \\

\end{vmatrix} \right

$$

此外，还可以使用向量叉乘的方法来计算面积，适用于三维空间或更复杂的情况。

二、公式对比总结表

三、实际应用举例

假设三角形三个顶点为 $ A(1, 2) $、$ B(4, 5) $、$ C(7, 1) $，代入公式计算：

$$

\text{面积} = \frac{1}{2} 1(5 - 1) + 4(1 - 2) + 7(2 - 5) = \frac{1}{2} 4 - 4 - 21 = \frac{1}{2} \times 21 = 10.5

$$

四、注意事项

- 公式中的绝对值是为了保证面积为正数。

- 若三点共线，则面积为零。

- 在三维空间中，可将问题转换为二维平面后使用此公式。

通过上述方法，可以快速准确地计算出坐标系中任意三角形的面积。掌握这些公式对于几何、物理、计算机图形学等学科都有重要帮助。

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