【正态分布的密度函数公式】正态分布是概率论与统计学中最重要、应用最广泛的连续概率分布之一。它在自然界和社会科学中广泛存在，例如人的身高、考试成绩、测量误差等都近似服从正态分布。正态分布的密度函数是描述其概率分布规律的核心公式。
一、正态分布的密度函数公式
正态分布的密度函数（Probability Density Function, PDF）为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
其中：
- $ x $ 是随机变量；
- $ \mu $ 是均值（期望），表示分布的中心位置；
- $ \sigma $ 是标准差，表示数据的离散程度；
- $ \pi $ 是圆周率（约3.1416）；
- $ e $ 是自然对数的底（约2.71828）。
二、正态分布的基本性质总结
| 属性 | 描述 |
| 类型 | 连续分布 |
| 定义域 | 所有实数（$-\infty < x < +\infty$） |
| 均值（μ） | 分布的中心点 |
| 方差（σ²） | 表示数据的波动程度 |
| 对称性 | 关于 $ x = \mu $ 对称 |
| 高斯曲线 | 图形呈钟形曲线，峰值在均值处 |
| 概率密度 | 在任意一点的概率密度不为零，但累积概率需积分计算 |
三、标准正态分布
当 $ \mu = 0 $ 且 $ \sigma = 1 $ 时，称为标准正态分布，其密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}
$$
标准正态分布是所有正态分布的基础，其他正态分布可通过标准化转换为标准正态分布进行分析。
四、正态分布的应用
1. 统计推断：如假设检验、置信区间估计。
2. 质量控制：用于分析产品尺寸、重量等是否符合标准。
3. 金融建模：股票收益率、资产价格波动常被假设为正态分布。
4. 自然科学：实验误差、生物特征等常服从正态分布。
五、小结
正态分布的密度函数是描述其概率分布的关键工具，具有对称性、集中性和可标准化的特点。掌握该函数及其性质，有助于理解并应用正态分布在实际问题中的价值。
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