【向量垂直公式】在向量几何中，判断两个向量是否垂直是一个常见的问题。向量垂直的条件可以通过它们的点积（内积）来判断。如果两个向量的点积为零，则这两个向量互相垂直。本文将对向量垂直的公式进行总结，并通过表格形式清晰展示相关概念和计算方法。
一、向量垂直的基本定义
若两个非零向量 a 和 b 满足以下条件：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
则称这两个向量 垂直（或正交），记作 a ⊥ b。
二、向量垂直的公式
设向量 a = (a₁, a₂, ..., aₙ)，b = (b₁, b₂, ..., bₙ)，则它们的点积为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
$$
当这个结果等于 0 时，说明两向量垂直。
三、常见情况下的向量垂直公式
| 向量类型 | 向量表示 | 点积公式 | 垂直条件 |
| 二维向量 | a = (a₁, a₂) b = (b₁, b₂) | $ a_1b_1 + a_2b_2 $ | $ a_1b_1 + a_2b_2 = 0 $ |
| 三维向量 | a = (a₁, a₂, a₃) b = (b₁, b₂, b₃) | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $ | $ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0 $ |
| n 维向量 | a = (a₁, a₂, ..., aₙ) b = (b₁, b₂, ..., bₙ) | $ \sum_{i=1}^{n} a_ib_i $ | $ \sum_{i=1}^{n} a_ib_i = 0 $ |
四、实际应用举例
例1：
向量 a = (2, -1)，b = (1, 2)
点积：$ 2×1 + (-1)×2 = 2 - 2 = 0 $ → 垂直
例2：
向量 a = (3, 4, 0)，b = (4, -3, 5)
点积：$ 3×4 + 4×(-3) + 0×5 = 12 - 12 + 0 = 0 $ → 垂直
五、注意事项
- 零向量与任何向量都视为垂直，但通常不讨论这种情况。
- 向量垂直是几何关系的一种表现，常用于解析几何、物理力学、计算机图形学等领域。
- 判断垂直时，必须使用点积而非叉积或其他运算。
六、总结
向量垂直的核心在于点积为零这一数学条件。无论是在二维、三维还是高维空间中，只要满足点积为零，即可判定两向量垂直。掌握这一公式，有助于在多个领域中快速判断向量之间的位置关系。
如需进一步了解向量夹角、投影等知识，可继续深入学习向量运算的相关内容。
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