【韦达定理的常见的五种公式】韦达定理是代数学中一个重要的定理，主要应用于一元二次方程的根与系数之间的关系。它由法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）提出，广泛用于求解方程、判断根的性质以及简化计算。在实际应用中，常见的五种公式形式如下：
一、基本形式
对于一元二次方程：
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) $$
设其两个根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，则根据韦达定理有以下关系：
- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
- 根的积：$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $
二、根的平方和
利用根的和与积可以推导出根的平方和公式：
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $$
代入韦达定理的表达式：
$$ x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 2 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} $$
三、根的立方和
根的立方和公式可以通过展开 $ (x_1 + x_2)^3 $ 得到：
$$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) $$
代入韦达定理：
$$ x_1^3 + x_2^3 = \left(-\frac{b}{a}\right)^3 - 3 \cdot \frac{c}{a} \cdot \left(-\frac{b}{a}\right) = -\frac{b^3}{a^3} + \frac{3bc}{a^2} $$
四、两根倒数之和
若要求 $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} $，可化简为：
$$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} $$
代入韦达定理：
$$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}} = -\frac{b}{c} $$
五、对称表达式的应用
例如，若要求 $ x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 $，可将其看作 $ (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 $，即：
$$ x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 $$
代入韦达定理：
$$ = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - ac}{a^2} $$
表格总结
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 根的和 | $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $ |
| 根的积 | $ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $ |
| 根的平方和 | $ x_1^2 + x_2^2 = \frac{b^2 - 2ac}{a^2} $ |
| 根的立方和 | $ x_1^3 + x_2^3 = -\frac{b^3}{a^3} + \frac{3bc}{a^2} $ |
| 倒数之和 | $ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{b}{c} $ |
| 对称表达式 | $ x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 = \frac{b^2 - ac}{a^2} $ |
通过以上五种常见公式，我们可以更高效地处理与一元二次方程相关的代数问题，避免直接求根带来的复杂运算。这些公式不仅适用于考试题型，也常用于工程、物理等领域的实际计算中。
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