【向量的叉乘公式是什么】在三维几何和线性代数中，向量的叉乘（Cross Product）是一种重要的运算方式，用于计算两个向量之间的垂直向量。它广泛应用于物理、工程、计算机图形学等领域。本文将总结向量叉乘的基本概念、公式及其应用，并以表格形式清晰展示。
一、向量叉乘的基本概念
向量叉乘是两个向量之间的一种二元运算，结果是一个新的向量，该向量与原两个向量都垂直。叉乘的结果向量的方向由右手定则决定，其大小等于两个向量所构成的平行四边形的面积。
二、向量叉乘的公式
设两个向量为：
$$
\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle,\quad \vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle
$$
则它们的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的公式为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \rangle
$$
也可以通过行列式的形式表示：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后即为上述公式。
三、向量叉乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 反交换性 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ |
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ |
| 与标量相乘 | $k(\vec{a} \times \vec{b}) = (k\vec{a}) \times \vec{b} = \vec{a} \times (k\vec{b})$ |
| 与自身叉乘 | $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ |
| 垂直性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直 |
四、向量叉乘的应用
| 应用领域 | 说明 |
| 物理 | 计算力矩、角动量、磁场等 |
| 计算机图形学 | 确定法线方向、光照计算等 |
| 工程力学 | 分析结构受力、旋转运动等 |
| 几何 | 求解平面方程、判断点是否共面等 |
五、总结
向量的叉乘是一种重要的向量运算，能够得到一个与原向量垂直的新向量。其公式可以通过分量计算或行列式展开得出。掌握叉乘的性质和应用场景，有助于更好地理解三维空间中的向量关系，适用于多个学科领域。
附：叉乘公式一览表
| 向量 | 公式 | 说明 |
| 向量 $\vec{a}$ | $\langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ | 任意三维向量 |
| 向量 $\vec{b}$ | $\langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ | 任意三维向量 |
| 叉乘结果 $\vec{a} \times \vec{b}$ | $\langle a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1 \rangle$ | 垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的向量 |
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