【椭圆通径公式及坐标】在解析几何中，椭圆是一个重要的二次曲线，其通径是研究椭圆性质的重要参数之一。通径是指通过椭圆焦点且垂直于长轴的弦，其长度与椭圆的几何参数密切相关。本文将对椭圆通径的定义、公式及其相关坐标进行总结，并以表格形式展示关键数据。
一、椭圆通径的基本概念
椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)
$$
其中：
- $ a $ 是半长轴；
- $ b $ 是半短轴；
- 焦点位于 $ (\pm c, 0) $，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。
通径是指过椭圆一个焦点，且垂直于长轴（即x轴）的弦，其两个端点在椭圆上，因此也称为“焦点弦”。
二、椭圆通径的公式
椭圆的通径长度 $ d $ 可由以下公式计算：
$$
d = \frac{2b^2}{a}
$$
该公式表明，通径的长度取决于椭圆的半短轴和半长轴的比值。当椭圆越接近圆形时（即 $ a \approx b $），通径长度会增大；而当椭圆变得扁平时（即 $ a > b $ 明显），通径长度则减小。
三、椭圆通径的坐标表示
假设椭圆中心在原点，焦点在x轴上，那么通径的两个端点坐标可以通过代入椭圆方程求得。
设焦点为 $ (c, 0) $，通径垂直于x轴，因此其横坐标恒为 $ c $，带入椭圆方程可得：
$$
\frac{c^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \Rightarrow y^2 = b^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right)
$$
由于 $ c^2 = a^2 - b^2 $，代入后得：
$$
y^2 = b^2\left(1 - \frac{a^2 - b^2}{a^2}\right) = b^2\left(\frac{b^2}{a^2}\right) = \frac{b^4}{a^2}
$$
因此，通径的两个端点坐标为：
$$
(c, \pm \frac{b^2}{a})
$$
四、关键参数对比表
| 参数 | 公式/表达 | 说明 |
| 半长轴 | $ a $ | 椭圆沿x轴方向的半轴长度 |
| 半短轴 | $ b $ | 椭圆沿y轴方向的半轴长度 |
| 焦距 | $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $ | 焦点到中心的距离 |
| 通径长度 | $ d = \frac{2b^2}{a} $ | 通径的长度 |
| 通径端点坐标 | $ (c, \pm \frac{b^2}{a}) $ | 过焦点且垂直于长轴的弦的端点 |
五、总结
椭圆通径是椭圆几何中的一个重要特征，其长度和坐标可以通过标准公式直接计算得出。理解通径的数学表达有助于深入掌握椭圆的几何性质，尤其在解析几何和工程应用中具有广泛意义。通过上述分析与表格对比，可以清晰地掌握椭圆通径的相关知识。
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