【数学期望和方差的几条公式】在概率论与数理统计中，数学期望和方差是描述随机变量分布特征的重要指标。数学期望反映了随机变量的平均取值水平，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。以下是对数学期望和方差的一些基本公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、数学期望（Expected Value）
数学期望是随机变量在所有可能取值上的加权平均，权重为相应的概率。
常见公式：
| 随机变量类型 | 公式 | 说明 |
| 离散型随机变量 | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) $ | $x_i$ 为可能取值，$P(X = x_i)$ 为对应概率 |
| 连续型随机变量 | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | $f(x)$ 为概率密度函数 |
| 线性变换 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | $a, b$ 为常数 |
| 期望的线性性 | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ | 对任意两个随机变量成立 |
二、方差（Variance）
方差用于衡量随机变量与其期望之间的差异程度，即数据的离散程度。
常见公式：
| 公式 | 说明 | |
| 定义式 | $ \text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] $ | 即 $ E(X^2) - [E(X)]^2 $ |
| 方差的性质 | $ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X) $ | $a, b$ 为常数 |
| 两变量方差 | $ \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y) $ | 若独立，则协方差为0 |
| 方差与期望的关系 | $ \text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 更便于计算 |
三、常见分布的期望与方差
以下是几种常见概率分布的期望与方差公式，供参考：
| 分布名称 | 概率质量函数/密度函数 | 数学期望 $E(X)$ | 方差 $\text{Var}(X)$ |
| 伯努利分布 | $P(X = k) = p^k(1-p)^{1-k}$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 | $P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布 | $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 正态分布 | $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| 均匀分布 | $f(x) = \frac{1}{b-a}$ 在区间 $[a,b]$ 内 | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
四、总结
数学期望和方差是统计分析中的基础工具，理解它们的定义、性质以及在不同分布中的表现，有助于更深入地掌握概率模型和数据分析方法。无论是理论研究还是实际应用，掌握这些公式都是必不可少的。
通过表格的形式整理这些内容，不仅便于记忆，也方便查阅和比较不同情况下的结果。希望本文能为学习概率论的同学提供一定的帮助。
以上就是【数学期望和方差的几条公式】相关内容，希望对您有所帮助。
