【如何用特征函数求正态分布数学期望和方差】在概率论中，特征函数是研究随机变量分布的重要工具之一。对于正态分布来说，利用其特征函数可以方便地求得其数学期望和方差。本文将总结如何通过特征函数推导正态分布的期望与方差，并以表格形式清晰展示计算过程。

一、正态分布的定义

设随机变量 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，即服从均值为 $ \mu $、方差为 $ \sigma^2 $ 的正态分布，其概率密度函数为：

$$

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

二、特征函数的概念

一个随机变量 $ X $ 的特征函数定义为：

$$

\phi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}

$$

对于正态分布 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，其特征函数为：

$$

\phi_X(t) = e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

$$

三、利用特征函数求期望和方差

1. 数学期望（均值）

特征函数的一阶导数在 $ t = 0 $ 处的值乘以 $ i $ 即为数学期望：

$$

\mathbb{E}[X] = \frac{1}{i} \left. \frac{d}{dt} \phi_X(t) \right_{t=0}

$$

对特征函数求导：

$$

\frac{d}{dt} \phi_X(t) = \frac{d}{dt} \left( e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2} \right) = (i\mu - \sigma^2 t) e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

$$

代入 $ t = 0 $ 得：

$$

\left. \frac{d}{dt} \phi_X(t) \right_{t=0} = i\mu

$$

因此：

$$

\mathbb{E}[X] = \frac{1}{i} \cdot i\mu = \mu

$$

2. 方差

方差可以通过特征函数的二阶导数来计算。首先计算二阶导数：

$$

\frac{d^2}{dt^2} \phi_X(t) = \frac{d}{dt} \left[ (i\mu - \sigma^2 t) e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2} \right

$$

展开后可得：

$$

\frac{d^2}{dt^2} \phi_X(t) = (-\sigma^2) e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2} + (i\mu - \sigma^2 t)^2 e^{i\mu t - \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

$$

代入 $ t = 0 $ 得：

$$

\left. \frac{d^2}{dt^2} \phi_X(t) \right_{t=0} = -\sigma^2 + (i\mu)^2 = -\sigma^2 - \mu^2

$$

然后根据公式：

$$

\mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{i^2} \left. \frac{d^2}{dt^2} \phi_X(t) \right_{t=0} = \frac{1}{-1} (-\sigma^2 - \mu^2) = \sigma^2 + \mu^2

$$

因此，方差为：

$$

\text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 = \sigma^2 + \mu^2 - \mu^2 = \sigma^2

$$

四、总结表

五、结语

通过特征函数的方法，我们能够简洁且准确地推导出正态分布的数学期望和方差。这种方法不仅适用于正态分布，也广泛应用于其他连续型分布的分析中。理解并掌握这一方法，有助于深入理解概率论中的变换技巧和随机变量的性质。

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