【逻辑回归方程公式详解】逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的统计模型，尤其在二分类任务中表现优异。它通过将线性回归的结果映射到[0,1]区间，从而预测事件发生的概率。本文将对逻辑回归的核心公式进行详细解析，并以总结与表格形式呈现关键内容。

一、逻辑回归的基本思想

逻辑回归本质上是在线性回归的基础上引入Sigmoid函数，将线性输出转化为概率值。其核心目标是：

根据输入特征，预测某一类别的发生概率。

二、逻辑回归方程公式详解

1. 线性部分（Logit）

逻辑回归的第一步是构建一个线性组合：

$$

z = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \dots + \beta_n x_n

$$

- $ z $：线性组合结果

- $ \beta_0 $：截距项

- $ \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n $：各特征对应的系数

- $ x_1, x_2, ..., x_n $：输入特征

2. Sigmoid 函数（激活函数）

将线性结果 $ z $ 代入 Sigmoid 函数，得到预测概率：

$$

P(y=1x) = \frac{1}{1 + e^{-z}} = \frac{1}{1 + e^{-(\beta_0 + \beta_1 x_1 + \dots + \beta_n x_n)}}

$$

- $ P(y=1x) $：给定输入 $ x $，样本属于类别1的概率

- $ e $：自然常数（约2.718）

- Sigmoid函数的输出范围为 [0, 1

3. 分类决策

根据预测概率设定阈值（通常为0.5）进行分类：

- 若 $ P(y=1x) \geq 0.5 $，则预测为类别1

- 若 $ P(y=1x) < 0.5 $，则预测为类别0

三、关键公式总结表

四、逻辑回归的特点

- 输出概率直观：能够给出样本属于某类别的概率，便于后续决策。

- 易于解释：每个特征的系数可以反映该特征对结果的影响程度。

- 适用于线性可分数据：在非线性数据上可能需要引入多项式特征或使用其他模型。

- 计算效率高：训练速度快，适合大规模数据集。

五、应用场景

逻辑回归常用于以下场景：

- 预测用户是否会购买商品（点击/不点击）

- 判断邮件是否为垃圾邮件

- 评估贷款申请人的违约风险

- 医疗诊断中的疾病预测

六、小结

逻辑回归通过线性组合与Sigmoid函数的结合，实现了从输入特征到类别概率的映射。其公式简洁且具有良好的可解释性，在实际应用中非常广泛。掌握这些基本公式有助于深入理解模型的工作原理，并为后续建模打下坚实基础。

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