【两点分布与二项分布的公式】在概率论与数理统计中，两点分布和二项分布是常见的离散型概率分布模型。它们在实际问题中有着广泛的应用，如质量检测、实验结果分析等。以下是对这两种分布的基本概念及公式的总结。
一、两点分布（Bernoulli 分布）
定义：
两点分布是指一个随机变量只取两个可能值的分布，通常表示为成功（1）或失败（0）。设随机变量 $ X $ 服从两点分布，记作 $ X \sim B(1, p) $，其中 $ p $ 是成功的概率。
概率质量函数（PMF）：
$$
P(X = x) =
\begin{cases}
p, & x = 1 \\
1 - p, & x = 0
\end{cases}
$$
期望与方差：
- 期望：$ E(X) = p $
- 方差：$ \text{Var}(X) = p(1 - p) $
二、二项分布（Binomial Distribution）
定义：
二项分布描述了在 $ n $ 次独立重复试验中，成功次数 $ X $ 的概率分布。每次试验只有两种结果：成功或失败，且每次成功的概率为 $ p $，失败的概率为 $ 1 - p $。记作 $ X \sim \text{Bin}(n, p) $。
概率质量函数（PMF）：
$$
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n
$$
其中 $ C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!} $ 是组合数。
期望与方差：
- 期望：$ E(X) = np $
- 方差：$ \text{Var}(X) = np(1 - p) $
三、对比表格
| 特性 | 两点分布 | 二项分布 |
| 随机变量取值 | 0 或 1 | 0 到 n 的整数 |
| 试验次数 | 1 次 | n 次独立重复试验 |
| 成功概率 | p | p（每次相同） |
| 概率质量函数 | $ P(X = x) = p^x(1-p)^{1-x} $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k} $ |
| 期望 | $ p $ | $ np $ |
| 方差 | $ p(1-p) $ | $ np(1-p) $ |
| 应用场景 | 单次实验结果 | 多次独立实验中的成功次数 |
四、小结
两点分布是二项分布的特例，当试验次数 $ n = 1 $ 时，二项分布退化为两点分布。两者都基于伯努利试验，但二项分布适用于多个独立事件的组合情况。掌握它们的公式和性质，有助于我们在实际问题中进行概率建模与数据分析。
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