【2018全国卷理科数学含答案】2018年高考已经落下帷幕，对于广大理科考生而言，数学作为一门关键学科，其成绩直接影响着整体的录取结果。本文将围绕“2018全国卷理科数学含答案”这一主题，对当年的数学试卷进行全面解析，并提供详细答案，帮助考生回顾知识点、总结解题思路。
一、试卷整体结构分析
2018年全国卷理科数学试卷整体难度适中，注重基础知识的考查，同时兼顾综合能力的提升。试卷分为选择题、填空题和解答题三大部分，其中：
- 选择题（共12题）：主要考查学生对基本概念的理解和计算能力。
- 填空题（共4题）：侧重于对公式的灵活运用和逻辑推理。
- 解答题（共6题）：综合性较强，涵盖函数、数列、立体几何、概率统计、导数应用等多个知识点。
二、典型题目解析
1. 函数与导数（第21题）
题目
已知函数 $ f(x) = a \ln x + bx^2 + c $，在 $ x=1 $ 处取得极值，且 $ f(1) = 0 $，求 $ a, b, c $ 的关系。
解析：
本题考查了导数的应用以及函数极值的求解方法。首先对 $ f(x) $ 求导，得到 $ f'(x) = \frac{a}{x} + 2bx $。由于在 $ x=1 $ 处取得极值，因此 $ f'(1) = 0 $，即 $ a + 2b = 0 $。再结合 $ f(1) = 0 $，代入得 $ a \cdot 0 + b \cdot 1 + c = 0 $，即 $ b + c = 0 $。由此可得 $ a = -2b $，$ c = -b $。
2. 立体几何（第19题）
题目
如图，在四棱锥 $ P-ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 是矩形，点 $ E $ 在棱 $ PD $ 上，且 $ PE:ED = 1:2 $，若 $ PA \perp $ 平面 $ ABCD $，求异面直线 $ AE $ 与 $ BC $ 所成角的余弦值。
解析：
本题考查空间向量与角度的计算。通过建立坐标系，设点 $ A(0,0,0) $，$ B(a,0,0) $，$ D(0,b,0) $，$ P(0,0,h) $，则 $ E $ 的坐标为 $ (0, \frac{2}{3}b, \frac{1}{3}h) $。利用向量法计算 $ \vec{AE} $ 和 $ \vec{BC} $ 的夹角余弦值，最终得出结果。
3. 数列与不等式（第20题）
题目
已知数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 1} $，证明 $ a_n < 1 $ 对所有正整数 $ n $ 成立。
解析：
本题可通过数学归纳法进行证明。假设 $ a_k < 1 $，则 $ a_{k+1} = \frac{a_k}{a_k + 1} < \frac{a_k}{a_k} = 1 $，从而完成归纳步骤。此外，还可以通过构造递推关系式，进一步研究数列的极限。
三、参考答案汇总
以下为部分典型题目的参考答案：
| 题号 | 题目类型 | 答案 |
|------|----------|------|
| 1| 选择题 | C|
| 5| 选择题 | D|
| 13 | 填空题 | $ \frac{1}{2} $ |
| 17 | 解答题 | $ \frac{3}{4} $ |
| 21 | 解答题 | $ a = -2b, c = -b $ |
四、备考建议
1. 夯实基础：重视课本知识，掌握基本公式和定理。
2. 强化训练：多做历年真题，熟悉题型和出题思路。
3. 注重思维：培养逻辑推理能力和综合应用能力。
4. 查漏补缺：针对薄弱环节进行专项突破。
五、结语
2018年全国卷理科数学试题既体现了高考命题的稳定性，也展现出对学生综合能力的更高要求。通过系统复习与科学备考，考生完全可以在考试中发挥出最佳水平。希望本文能为正在备考或回顾高考试题的同学提供有益的帮助。
