【重庆市开县中学高中数学导数在研究函数中的应用训练单新人教版a】一、学习目标
1. 理解导数的几何意义与物理意义，掌握求导的基本方法；
2. 能够利用导数判断函数的单调性、极值和最值；
3. 通过导数分析函数图像的变化趋势，提升数形结合的能力；
4. 培养学生运用导数解决实际问题的能力，增强数学建模意识。
二、知识回顾
1. 导数的定义：设函数 $ y = f(x) $ 在点 $ x_0 $ 处可导，则其导数为
$$
f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
$$
2. 导数的几何意义：导数表示函数图像在该点的切线斜率；
3. 常见函数的导数公式：
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (e^x)' = e^x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
三、典型例题解析
例题1： 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调区间与极值。
解题步骤：
1. 求导：$ f'(x) = 3x^2 - 3 $
2. 令导数等于零：$ 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 $
3. 列表分析导数符号：
| 区间 | $ x < -1 $ | $ -1 < x < 1 $ | $ x > 1 $ |
|------------|-------------|------------------|-------------|
| $ f'(x) $ | 正| 负 | 正|
4. 结论：
- 单调递增区间：$ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $
- 单调递减区间：$ (-1, 1) $
- 极大值点：$ x = -1 $，极大值为 $ f(-1) = 2 $
- 极小值点：$ x = 1 $，极小值为 $ f(1) = -2 $
例题2： 已知函数 $ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $，在 $ x = 1 $ 处有极值，且在 $ x = 0 $ 处切线方程为 $ y = 2x + 1 $。求参数 $ a $、$ b $、$ c $、$ d $ 的值。
解题思路：
1. 由切线方程得：$ f(0) = d = 1 $，且 $ f'(0) = c = 2 $
2. 又因为 $ x = 1 $ 是极值点，所以 $ f'(1) = 3a(1)^2 + 2b(1) + c = 0 \Rightarrow 3a + 2b + 2 = 0 $
3. 由于极值点处导数为零，但未给出具体值，需进一步条件或假设。若无更多信息，可设 $ a $、$ b $ 为任意满足上述关系的数值。
四、课堂练习
1. 求函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $ 的单调区间与极值；
2. 若函数 $ f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ 在 $ x = 1 $ 处取得极小值 $ -2 $，且 $ f(0) = 1 $，求 $ a $、$ b $、$ c $ 的值；
3. 分析函数 $ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} $ 的单调性，并求其最大值与最小值。
五、拓展思考
1. 如何利用导数判断函数图像的凹凸性？
2. 导数在实际生活中的应用有哪些？举例说明。
3. 如果一个函数在某点的导数不存在，是否一定存在极值？
六、总结
导数是研究函数性质的重要工具，能够帮助我们准确地分析函数的单调性、极值、凹凸性等关键特征。通过本节课的学习，希望大家能够熟练掌握导数的应用方法，并能灵活运用于各类数学问题中。
备注： 本训练单适用于高二年级学生，旨在巩固导数基础知识，提升综合应用能力。建议课后完成练习题并进行反思总结。
