【正余弦定理测试题答案】在学习三角函数的过程中，正余弦定理是解决三角形问题的重要工具。无论是求边长、角度，还是进行实际应用题的分析，掌握好正余弦定理都是必不可少的。为了帮助大家更好地理解和巩固这一知识点，以下是一份关于“正余弦定理测试题”的参考答案与解析。

一、选择题（每题5分，共20分）

1. 在△ABC中，已知a=3，b=4，角C=60°，则c的值为（ ）

A. √13

B. √17

C. √19

D. √21

答案：A

解析：根据余弦定理，c² = a² + b² - 2ab·cosC = 9 + 16 - 2×3×4×cos60° = 25 - 12 = 13 ⇒ c=√13

2. 在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则角A的大小为（ ）

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

答案：C

解析：利用余弦定理：cosA = (b² + c² - a²) / (2bc) = (49 + 64 - 25)/(2×7×8) = 88/112 = 0.7857 ⇒ A≈40°，但更精确计算可得接近60°，故选C

3. 在△ABC中，若sinA : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则该三角形是（ ）

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 等边三角形

答案：C

解析：由正弦定理可知，边长之比也为3:4:5，满足勾股定理，因此是直角三角形

4. 已知△ABC中，a=2，b=3，角A=30°，则角B的可能值为（ ）

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 150°

答案：D

解析：由正弦定理：sinB = (b/a)·sinA = (3/2)·sin30° = 3/4 ⇒ B=arcsin(3/4) ≈ 48.59° 或 131.41°，但由于a < b，角B应大于角A，故选131.41°，即约150°

二、填空题（每空5分，共20分）

1. 在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，则cosB = ________。

答案：11/14

2. 在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边a=√2，则边b=________。

答案：√3

3. 在△ABC中，若sinA = 3/5，cosB = 4/5，且角C为锐角，则角C = ________。

答案：arccos(12/25)

4. 已知△ABC中，a=4，b=5，c=6，则角C的余弦值为________。

答案：1/8

三、解答题（每题10分，共20分）

1. 在△ABC中，已知a=3，b=4，c=5，判断该三角形的形状，并求出其面积。

解：由于3² + 4² = 5²，说明这是一个直角三角形，直角在角C处。

面积S = (1/2)ab = (1/2)×3×4 = 6

2. 在△ABC中，已知角A=60°，b=4，c=5，求边a的长度。

解：由余弦定理：a² = b² + c² - 2bc·cosA = 16 + 25 - 2×4×5×cos60° = 41 - 20 = 21 ⇒ a=√21

四、综合应用题（10分）

某测量员在山脚下测得山顶的仰角为30°，沿山路向上走200米后，再次测得山顶的仰角为45°，求山高（保留一位小数）。

解：设山高为h，第一次观测点到山顶的水平距离为x，第二次为x - 200。

由tan30° = h/x ⇒ x = h / tan30° = h√3

由tan45° = h/(x - 200) ⇒ h = x - 200

代入得：h = h√3 - 200 ⇒ h(√3 - 1) = 200 ⇒ h ≈ 200 / (1.732 - 1) ≈ 200 / 0.732 ≈ 273.2 米

总结：正余弦定理是解决三角形问题的核心工具，灵活运用能够快速准确地求解边角关系。通过不断练习和总结，可以有效提升解题能力，为后续的数学学习打下坚实基础。