【简单数学建模论文范文】本文以“如何在有限资源下合理安排生产计划”为研究主题，通过建立一个简单的数学模型，分析了在原材料、劳动力和设备限制条件下，如何最大化利润。文章首先对问题进行了背景介绍与分析，然后提出了模型的基本假设，并建立了线性规划模型进行求解。最后，通过实例验证了模型的可行性与实用性。
关键词： 数学建模；线性规划；资源分配；优化问题
一、引言
随着经济的发展和社会的进步，企业面临着越来越多的资源约束问题。如何在有限的资源下，实现生产效益的最大化，成为企业管理者关注的重点。数学建模作为一种重要的工具，能够将实际问题抽象为数学表达式，从而帮助我们找到最优解。
本论文以某小型制造企业为例，探讨在原材料、人力和设备受限的情况下，如何制定合理的生产计划以实现利润最大化。通过构建一个简化的数学模型，我们希望为类似企业提供一种可行的决策方法。
二、问题描述与分析
假设某公司生产两种产品A和B，每种产品的生产需要消耗一定的原材料、人工和机器时间。已知如下数据：
- 每生产一件A产品，需耗用原材料1单位、人工2小时、机器时间1小时；
- 每生产一件B产品，需耗用原材料2单位、人工1小时、机器时间3小时；
- 公司现有原材料总量为100单位，总人工时间为80小时，总机器时间为90小时；
- A产品的利润为每件5元，B产品的利润为每件4元。
目标是在满足资源限制的前提下，确定A和B的产量，使得总利润最大。
三、模型建立
设x为A产品的产量，y为B产品的产量。
目标函数（最大化利润）：
$$
\text{Maximize } Z = 5x + 4y
$$
约束条件：
$$
\begin{cases}
x + 2y \leq 100 & \text{（原材料限制）} \\
2x + y \leq 80 & \text{（人工时间限制）} \\
x + 3y \leq 90 & \text{（机器时间限制）} \\
x \geq 0, y \geq 0 & \text{（非负性约束）}
\end{cases}
$$
这是一个典型的线性规划问题，可以通过图解法或单纯形法求解。
四、模型求解
为了简化计算，采用图解法进行求解。首先画出各约束条件所对应的直线，并找出可行域的顶点。
经过计算，可行域的顶点包括以下几点：
- (0, 0)
- (0, 30) —— 来自机器时间约束
- (20, 40) —— 来自人工时间和原材料约束交点
- (40, 0) —— 来自人工时间约束
- (30, 20) —— 来自原材料和机器时间交点
将这些点代入目标函数 $ Z = 5x + 4y $ 进行计算：
| 点 | x | y | 利润Z |
|--------|---|---|-------|
| (0, 0) | 0 | 0 | 0 |
| (0, 30)| 0 |30 |120|
| (20, 40)|20|40 | 360 |
| (40, 0)|40|0|200|
| (30, 20)|30|20 |230|
从上表可以看出，当x=20，y=40时，利润最大，为360元。
五、结果分析与讨论
通过上述模型求解，得出在给定资源条件下，生产20件A产品和40件B产品可以获得最大利润360元。该结果符合实际生产中的资源分配逻辑，说明模型具有较好的现实意义。
此外，还可以进一步分析不同参数变化对最优解的影响，例如原材料价格上升、人工成本增加等，从而为企业提供更灵活的决策支持。
六、结论
本文通过对一个实际生产问题的建模与求解，展示了数学建模在资源优化中的应用价值。通过建立线性规划模型，不仅找到了最优的生产方案，也为企业在面对资源限制时提供了科学的决策依据。未来可以考虑引入更复杂的模型，如非线性规划或动态规划，以应对更复杂的现实情况。
参考文献：
[1] 谢金星. 数学建模方法与分析. 高等教育出版社, 2017.
[2] 姜启源. 数学模型（第三版）. 高等教育出版社, 2011.
[3] 张晓东. 线性规划及其应用. 科学出版社, 2015.
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