在每年的高考中，数学压轴题往往是最具挑战性的部分，它不仅考查学生的综合运用能力，还对逻辑思维、计算技巧和解题策略提出了较高要求。2018年江苏省高考数学试卷中的最后一道大题，正是这样一道具有代表性的题目，其内容涵盖函数、导数、不等式等多个知识点，综合性强，难度适中但富有深度。
本题的题目如下（为便于分析，这里采用简化版表述）：
> 已知函数 $ f(x) = a \ln x + bx^2 + cx $，其中 $ a, b, c $ 为实数，且 $ f(1) = 0 $，$ f'(1) = 0 $，若函数 $ f(x) $ 在区间 $ (0, +\infty) $ 上存在极值点，求实数 $ a $ 的取值范围。
一、题意理解与条件分析
首先，我们从题目给出的条件入手：
1. 已知条件：
- $ f(1) = 0 $
- $ f'(1) = 0 $
2. 目标：
- 求实数 $ a $ 的取值范围，使得函数 $ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上存在极值点。
3. 函数结构：
- $ f(x) = a \ln x + bx^2 + cx $
我们可以先利用已知条件代入，求出 $ b $ 和 $ c $ 之间的关系，从而将问题简化为仅关于 $ a $ 的表达式。
二、代入条件求参数关系
由 $ f(1) = 0 $ 得：
$$
f(1) = a \ln 1 + b(1)^2 + c(1) = 0 \Rightarrow b + c = 0 \quad \text{(1)}
$$
再求导数：
$$
f'(x) = \frac{a}{x} + 2bx + c
$$
由 $ f'(1) = 0 $ 得：
$$
f'(1) = \frac{a}{1} + 2b(1) + c = a + 2b + c = 0 \quad \text{(2)}
$$
将 (1) 式 $ c = -b $ 代入 (2) 式：
$$
a + 2b - b = a + b = 0 \Rightarrow b = -a
$$
因此：
- $ b = -a $
- $ c = -b = a $
于是函数变为：
$$
f(x) = a \ln x - a x^2 + a x = a (\ln x - x^2 + x)
$$
三、分析极值点的存在性
为了判断函数在 $ (0, +\infty) $ 上是否存在极值点，我们需要研究导数 $ f'(x) $ 的零点情况。
根据前面的推导：
$$
f'(x) = \frac{a}{x} + 2bx + c = \frac{a}{x} + 2(-a)x + a = \frac{a}{x} - 2a x + a
$$
化简得：
$$
f'(x) = a \left( \frac{1}{x} - 2x + 1 \right)
$$
令 $ f'(x) = 0 $，即：
$$
\frac{1}{x} - 2x + 1 = 0
$$
乘以 $ x $ 得：
$$
1 - 2x^2 + x = 0 \Rightarrow 2x^2 - x - 1 = 0
$$
解这个二次方程：
$$
x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}
$$
所以：
$$
x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{2}
$$
由于定义域为 $ (0, +\infty) $，故只有 $ x = 1 $ 是有效解。
因此，导数在 $ x = 1 $ 处为零，说明该点是可能的极值点。
四、进一步分析极值点是否为“极值”
虽然 $ x = 1 $ 是导数的零点，但我们还需要判断该点是否为极值点。
考虑导数的变化趋势：
- 当 $ x < 1 $ 时，比如 $ x = 0.5 $，则：
$$
\frac{1}{0.5} - 2 \cdot 0.5 + 1 = 2 - 1 + 1 = 2 > 0
$$
- 当 $ x > 1 $ 时，比如 $ x = 2 $，则：
$$
\frac{1}{2} - 2 \cdot 2 + 1 = 0.5 - 4 + 1 = -2.5 < 0
$$
这说明导数在 $ x = 1 $ 处由正变负，即函数在 $ x = 1 $ 处取得极大值。
因此，无论 $ a $ 取何非零值，只要满足上述条件，函数在 $ x = 1 $ 处都存在极值。
五、结论
综上所述，题目中给出的条件已经隐含了函数在 $ (0, +\infty) $ 上存在极值点。而通过分析，我们发现只要 $ a \neq 0 $，函数就会在 $ x = 1 $ 处有极大值。
因此，实数 $ a $ 的取值范围为：
$$
a \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)
$$
即 $ a \ne 0 $。
六、总结
2018年江苏高考数学压轴题虽然形式简洁，但蕴含了丰富的数学思想。通过对函数构造、导数分析和极值判定的逐步深入，我们不仅解决了问题，也提升了对函数性质的理解。这类题目对考生的逻辑推理、代数运算和综合应用能力提出了较高要求，是检验学生数学素养的重要试金石。
