在数学学习中，三角函数与对数函数是两个非常重要的基础内容，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。无论是高中生还是大学生，在学习过程中都不可避免地要接触到这些函数的性质及其相关公式。本文将系统整理并解释高中到大学阶段常见的三角函数与对数函数的基本公式，帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
一、三角函数的基本公式
三角函数主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。以下是这些函数的一些基本定义和常用公式：
1. 基本定义（单位圆）
- $\sin \theta = \frac{y}{r}$
- $\cos \theta = \frac{x}{r}$
- $\tan \theta = \frac{y}{x}$
其中，$x, y$ 是单位圆上点的坐标，$r = \sqrt{x^2 + y^2}$。
2. 三角恒等式
- $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
- $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
- $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$
3. 和角与差角公式
- $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
- $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$
- $\tan(a \pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a \tan b}$
4. 二倍角公式
- $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
- $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$
- $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$
5. 半角公式
- $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$
- $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$
- $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
二、对数函数的基本公式
对数函数是指数函数的反函数，广泛用于解决指数增长、衰减问题，以及简化乘法运算。常见的是以10为底的常用对数（$\log_{10}$）和以自然常数e为底的自然对数（$\ln$）。
1. 对数的基本性质
- $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
- $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
- $\log_a (x^n) = n \log_a x$
- $\log_a a = 1$
- $\log_a 1 = 0$
2. 换底公式
$$
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}
$$
其中 $b$ 可以是任意正数（$b \neq 1$），通常选择 $b = 10$ 或 $b = e$。
3. 自然对数与常用对数的关系
$$
\ln x = \log_e x, \quad \log x = \log_{10} x
$$
且有：
$$
\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}, \quad \ln x = \frac{\log x}{\log e}
$$
4. 对数函数的导数
- $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$
- $\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$
三、三角函数与对数函数的综合应用
在高等数学中，三角函数与对数函数常常结合使用，例如在微积分中的积分和微分问题中。例如：
- $\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C$
- $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$
- $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
此外，在复数运算中，欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 将三角函数与指数函数联系起来，进一步扩展了对数与三角函数的应用范围。
四、总结
三角函数和对数函数作为数学中的基础工具，不仅在高中阶段占据重要地位，在大学数学课程中也扮演着关键角色。掌握其基本公式与性质，有助于提升解题能力，并为后续学习如微积分、线性代数、概率统计等打下坚实基础。通过不断练习与应用，能够更深入地理解这些函数的内在规律和实际意义。
