引言
概率论与数理统计是数学中的一个重要分支，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。掌握这门课程的核心知识和技能对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。本文将结合期末考试中常见的题目类型，提供一套详细的解题思路和方法，帮助读者更好地理解和应用相关理论。
一、单选题
题目1
设随机变量 \( X \) 的分布函数为 \( F(x) = \begin{cases}
0, & x < 0 \\
x^2, & 0 \leq x \leq 1 \\
1, & x > 1
\end{cases} \)，求 \( P(0.5 \leq X \leq 0.8) \)。
解析
根据分布函数的定义，概率 \( P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) \)。
代入已知条件：
\[
P(0.5 \leq X \leq 0.8) = F(0.8) - F(0.5)
\]
计算：
\[
F(0.8) = (0.8)^2 = 0.64, \quad F(0.5) = (0.5)^2 = 0.25
\]
因此：
\[
P(0.5 \leq X \leq 0.8) = 0.64 - 0.25 = 0.39
\]
答案
\( \boxed{0.39} \)
二、填空题
题目2
已知随机变量 \( X \sim N(2, 4) \)，即 \( X \) 服从均值为 2、方差为 4 的正态分布。求 \( P(X \geq 4) \)。
解析
正态分布的标准化公式为：
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
其中，\( \mu = 2 \)，\( \sigma = \sqrt{4} = 2 \)。
当 \( X = 4 \) 时：
\[
Z = \frac{4 - 2}{2} = 1
\]
查标准正态分布表得：
\[
P(Z \geq 1) = 1 - P(Z < 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587
\]
答案
\( \boxed{0.1587} \)
三、计算题
题目3
某工厂生产的零件长度 \( X \)（单位：毫米）服从正态分布 \( N(10, 0.04) \)。现从一批产品中随机抽取 100 件，求至少有 90 件零件长度在 9.96 至 10.04 毫米之间的概率。
解析
首先，计算单个零件长度在指定范围内的概率：
\[
P(9.96 \leq X \leq 10.04)
\]
标准化后：
\[
Z_1 = \frac{9.96 - 10}{\sqrt{0.04}} = -0.2, \quad Z_2 = \frac{10.04 - 10}{\sqrt{0.04}} = 0.2
\]
查标准正态分布表得：
\[
P(-0.2 \leq Z \leq 0.2) = P(Z \leq 0.2) - P(Z \leq -0.2) = 0.5793 - 0.4207 = 0.1586
\]
记 \( p = 0.1586 \)，则单个零件合格的概率为 \( p \)。
设 \( Y \) 表示 100 件零件中合格的数量，则 \( Y \sim B(100, 0.1586) \)。
所求概率为：
\[
P(Y \geq 90)
\]
由于 \( n = 100 \) 较大且 \( np = 15.86 \) 不接近 0 或 100，可用正态分布近似：
\[
Y \sim N(np, np(1-p)) = N(15.86, 13.42)
\]
标准化后：
\[
Z = \frac{90 - 15.86}{\sqrt{13.42}} \approx 6.28
\]
查标准正态分布表得：
\[
P(Z \geq 6.28) \approx 0
\]
答案
\( \boxed{0} \)
四、综合题
题目4
某公司生产的产品分为合格品和次品两类。已知合格品占总体的 80%，次品占 20%。从一批产品中随机抽取一件，若该产品是合格品，则其重量 \( X \) 服从正态分布 \( N(10, 1) \)；若为次品，则 \( X \sim N(9, 1) \)。现从该批产品中随机抽取一件，测得其重量为 9.5 千克，求该产品为合格品的概率。
解析
设事件 \( A \) 表示抽到合格品，事件 \( B \) 表示抽到次品，事件 \( C \) 表示测得重量为 9.5 千克。
由贝叶斯公式：
\[
P(A|C) = \frac{P(C|A)P(A)}{P(C)}
\]
其中：
\[
P(A) = 0.8, \quad P(B) = 0.2
\]
计算 \( P(C|A) \) 和 \( P(C|B) \)：
\[
P(C|A) = f_{N(10,1)}(9.5), \quad P(C|B) = f_{N(9,1)}(9.5)
\]
正态分布密度函数为：
\[
f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
代入计算：
\[
P(C|A) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(9.5-10)^2}{2}} \approx 0.242
\]
\[
P(C|B) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(9.5-9)^2}{2}} \approx 0.352
\]
计算 \( P(C) \)：
\[
P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B) = 0.242 \times 0.8 + 0.352 \times 0.2 = 0.2544
\]
代入贝叶斯公式：
\[
P(A|C) = \frac{0.242 \times 0.8}{0.2544} \approx 0.76
\]
答案
\( \boxed{0.76} \)
结语
通过以上几道典型例题的分析，我们可以看到概率论与数理统计的核心在于理解概念、熟练运用公式以及灵活选择合适的解题方法。希望本文能帮助大家巩固基础知识，并在实际应用中举一反三。
