在数学的学习过程中，分式的运算是一项重要的技能。熟练掌握分式的加减乘除以及它们的综合运用，不仅能够帮助我们解决复杂的代数问题，还能培养我们的逻辑思维能力。接下来，我们将通过一系列练习题来巩固和提升这部分知识。
基础练习
1. 计算：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$
解析：要进行分式加法，首先需要找到两个分母的最小公倍数。假设$b$和$d$的最小公倍数为$bd$，则可以将两个分式化为同分母形式：
$$
\frac{a}{b} = \frac{ad}{bd}, \quad \frac{c}{d} = \frac{cb}{bd}
$$
因此，
$$
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}
$$
2. 简化表达式：$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$
解析：观察分子$x^2 - 4$是一个平方差公式，可分解为$(x + 2)(x - 2)$。因此，
$$
\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2} = x + 2, \quad x \neq 2
$$
进阶练习
3. 求解：$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \div \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)$
解析：先计算括号内的两项：
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}, \quad \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}
$$
因此，
$$
\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \div \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right) = \frac{\frac{x + y}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{x + y}{y - x}
$$
4. 化简：$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \cdot \frac{x - 3}{x + 3}$
解析：分子$x^2 - 9$可分解为$(x + 3)(x - 3)$，分母$x^2 - 6x + 9$是完全平方公式，等于$(x - 3)^2$。因此，
$$
\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \cdot \frac{x - 3}{x + 3} = \frac{(x + 3)(x - 3)}{(x - 3)^2} \cdot \frac{x - 3}{x + 3} = 1, \quad x \neq 3, x \neq -3
$$
综合应用
5. 已知$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}$，求$\frac{a}{b} - \frac{b}{a}$
解析：首先计算$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{a}$：
$$
\frac{a}{b} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}, \quad \frac{b}{a} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}
$$
因此，
$$
\frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}
$$
通过以上练习题，我们可以看到分式的混合运算是一个逐步深入的过程，从基础到进阶再到综合应用，每一步都需要扎实的基础知识和灵活的解题技巧。希望同学们能够在实践中不断积累经验，提高自己的数学水平。
