一、几何概型的基本概念

几何概型是一种概率模型，它与古典概型不同，主要区别在于古典概型中的基本事件是有限个，而几何概型中的基本事件可以是无限个。在几何概型中，事件的概率通常通过长度、面积或体积的比例来计算。

例如，在一个区间上随机取一点，这个点落在某个子区间的概率就等于该子区间的长度与整个区间的长度之比。

二、典型例题解析

例题1：线段上的随机点

在一个长度为10的线段AB上随机选取一点P，求点P落在长度为4的子线段CD内的概率。

解析：

根据几何概型的定义，点P落在CD内的概率为：

\[ P = \frac{\text{子线段CD的长度}}{\text{整个线段AB的长度}} = \frac{4}{10} = 0.4 \]

因此，点P落在CD内的概率为0.4。

例题2：圆内的随机点

在一个半径为5的圆内随机选取一点P，求点P到圆心的距离小于3的概率。

解析：

根据几何概型的定义，点P到圆心的距离小于3的概率为：

\[ P = \frac{\text{小圆的面积}}{\text{大圆的面积}} = \frac{\pi \times 3^2}{\pi \times 5^2} = \frac{9}{25} = 0.36 \]

因此，点P到圆心的距离小于3的概率为0.36。

三、习题练习

1. 在长度为8的线段EF上随机选取一点Q，求点Q落在长度为2的子线段GH内的概率。

2. 在边长为6的正方形ABCD内随机选取一点R，求点R到正方形中心的距离小于2的概率。

四、习题答案

1. 点Q落在GH内的概率为：\[ \frac{2}{8} = 0.25 \]

2. 点R到正方形中心的距离小于2的概率为：\[ \frac{\pi \times 2^2}{\pi \times 3^2} = \frac{4}{9} \approx 0.444 \]

通过以上例题和习题的练习，我们可以更好地理解和掌握几何概型的计算方法。希望这些题目能够帮助你巩固相关知识，并在实际应用中灵活运用。