导数计算的基础知识回顾

在开始练习之前，让我们先回顾一下基本概念：

1. 定义：函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的导数定义为：

\[

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

\]

如果这个极限存在，则称 \( f(x) \) 在 \( x \) 点可导。

2. 常见函数的导数公式：

- \( (C)' = 0 \)，其中 \( C \) 是常数。

- \( (x^n)' = nx^{n-1} \)，\( n \) 为实数。

- \( (\sin x)' = \cos x \)

- \( (\cos x)' = -\sin x \)

- \( (e^x)' = e^x \)

- \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)

3. 运算法则：

- 和差法则：\( (u \pm v)' = u' \pm v' \)

- 积法则：\( (uv)' = u'v + uv' \)

- 商法则：\( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

练习题集

以下是一些不同难度级别的导数计算练习题：

基础题

1. 求 \( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + x - 5 \) 的导数。

2. 计算 \( g(x) = \sin(2x) + \cos(x) \) 的导数。

中等题

3. 设 \( h(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x + 1) \)，求 \( h'(x) \)。

4. 求 \( k(x) = \frac{\sin x}{x} \) 的导数。

高难题

5. 若 \( m(x) = e^{x^2} \)，求 \( m'(x) \)。

6. 求 \( n(x) = \ln(x^2 + 1) \) 的导数。

答案解析

1. \( f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 1 \)

2. \( g'(x) = 2\cos(2x) - \sin(x) \)

3. \( h'(x) = (2x)(x^3 - 2x + 1) + (x^2 + 1)(3x^2 - 2) \)

4. \( k'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2} \)

5. \( m'(x) = 2xe^{x^2} \)

6. \( n'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)

通过这些练习题和答案解析，希望你能更加熟练地掌握导数的计算方法。记住，多做练习是提高解题能力的关键！