在数学学习中,解析几何是一个重要的分支,它将代数与几何结合起来,通过坐标系来研究几何图形的性质和位置关系。为了帮助大家更好地掌握这一部分内容,下面提供了一些精选的练习题及其详细解答。
练习题一:直线方程的应用
题目:已知一条直线经过点A(2,3),且斜率为4,请写出该直线的标准方程,并判断点B(-1,5)是否在这条直线上。
解答:
根据直线方程的一般形式y-y₁=k(x-x₁),其中k为斜率,(x₁,y₁)为直线上一点,可得:
\[ y - 3 = 4(x - 2) \]
化简后得到标准方程为:
\[ y = 4x - 5 \]
接下来验证点B(-1,5)是否满足此方程:
将x=-1代入方程,计算y值:
\[ y = 4(-1) - 5 = -9 \]
由于-9≠5,所以点B不在该直线上。
练习题二:圆的基本概念
题目:求以点C(0,0)为圆心,半径r=3的圆的标准方程,并确定点D(3,4)的位置关系。
解答:
圆的标准方程为:
\[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \]
其中(h,k)是圆心坐标,r为半径。因此,所求圆的方程为:
\[ x^2 + y^2 = 9 \]
接着检查点D(3,4)与圆的关系:
计算点D到圆心的距离d:
\[ d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \]
因为d>r(即5>3),所以点D位于圆外。
练习题三:椭圆的定义与性质
题目:给定椭圆的标准方程为:
\[ \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
请找出其长轴长度、短轴长度以及焦点坐标。
解答:
从方程可以看出a²=16,b²=9,则a=4,b=3。
因此,长轴长度为2a=8,短轴长度为2b=6。
焦点坐标可以通过公式c²=a²-b²计算得出:
\[ c^2 = 16 - 9 = 7 \]
所以c=√7。焦点位于(±√7,0)。
以上就是几道关于解析几何的基础练习题及其答案。希望这些题目能够帮助你巩固相关知识,并提高解决问题的能力。继续努力吧!