在数学学习中，分式的运算是一项基础且重要的技能。熟练掌握分式的加减乘除规则，不仅能够帮助我们解决复杂的代数问题，还能为后续的数学学习打下坚实的基础。本文将通过一系列精选的练习题和详细解答，帮助大家巩固分式运算的知识点。

练习题一：分式的基本运算

1. 计算：$\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$

2. 简化：$\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9}$

3. 求值：$\frac{2x + 3}{x - 1}$ 当 $x = 2$

解答：

1. $\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{19}{12}$

2. $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2} = \frac{x+3}{x-3}$（当 $x \neq 3$）

3. 当 $x = 2$ 时，$\frac{2x + 3}{x - 1} = \frac{2(2) + 3}{2 - 1} = \frac{7}{1} = 7$

练习题二：分式的混合运算

1. 计算：$\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \div \frac{x+y}{xy}$

2. 化简：$\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{a+b}{ab}}$

3. 解方程：$\frac{x}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1$

解答：

1. $\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) \div \frac{x+y}{xy} = \frac{\frac{x+y}{xy}}{\frac{x+y}{xy}} = 1$

2. $\frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{a^2 - b^2}{a+b} = a - b$

3. $\frac{x}{x-1} + \frac{1}{x+1} = 1$ 可化为 $\frac{x(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} = 1$，进一步整理得到 $x^2 + x + x - 1 = x^2 - 1$，解得 $x = 0$

通过以上练习题的解答，我们可以看到分式运算的关键在于灵活运用通分、约分以及因式分解等技巧。希望这些题目能帮助大家更好地理解和掌握分式运算的方法。如果有任何疑问或需要进一步的指导，请随时提问！