在数学的学习过程中，整式的乘除是一个重要的基础知识点。熟练掌握这部分内容，不仅能够帮助我们解决复杂的代数问题，还能为后续学习更高级别的数学知识打下坚实的基础。接下来，我们将通过一系列练习题来巩固这一知识点，并附上详细的解答过程。

练习题

1. 计算：$(3x^2y)(4xy^3)$

2. 化简：$\frac{6a^3b^2}{2ab}$

3. 求解：$(2x - 3)(x + 5)$

4. 分解因式：$x^2 - 9$

5. 简化表达式：$\frac{(x^2 - 4)}{(x - 2)}$

答案解析

1. 计算：$(3x^2y)(4xy^3)$

将系数和变量分别相乘：

$$

(3 \cdot 4)(x^2 \cdot x)(y \cdot y^3) = 12x^{2+1}y^{1+3} = 12x^3y^4

$$

答案： $12x^3y^4$

2. 化简：$\frac{6a^3b^2}{2ab}$

分子与分母同时约去公因式$2ab$：

$$

\frac{6a^3b^2}{2ab} = \frac{6}{2} \cdot \frac{a^3}{a} \cdot \frac{b^2}{b} = 3a^{3-1}b^{2-1} = 3a^2b

$$

答案： $3a^2b$

3. 求解：$(2x - 3)(x + 5)$

使用分配律展开：

$$

(2x - 3)(x + 5) = 2x \cdot x + 2x \cdot 5 - 3 \cdot x - 3 \cdot 5

$$

$$

= 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15

$$

答案： $2x^2 + 7x - 15$

4. 分解因式：$x^2 - 9$

这是一个典型的平方差公式应用：

$$

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

$$

答案： $(x - 3)(x + 3)$

5. 简化表达式：$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$

注意到$x^2 - 4$是平方差公式，可以分解为$(x - 2)(x + 2)$：

$$

\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}

$$

分子与分母约去$(x - 2)$（前提是$x \neq 2$）：

$$

x + 2

$$

答案： $x + 2$

通过以上练习题，我们可以看到整式乘除的基本规则和技巧。希望这些题目能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。继续努力，数学的世界将会变得更加广阔！