在数学的学习过程中，一元二次不等式是一个重要的知识点。它不仅涉及代数运算，还需要结合图形分析来求解。本文将详细讲解一元二次不等式的解法，并通过实例帮助读者更好地掌握这一内容。

什么是“一元二次不等式”？

一元二次不等式是指形如 \( ax^2 + bx + c > 0 \)（或 \( <, \geq, \leq \)）的不等式，其中 \( a \neq 0 \)。这里的 \( x \) 是未知数，\( a, b, c \) 是常数项。这类不等式的特点是最高次数为二次，因此需要利用二次函数的相关性质进行求解。

解题步骤

1. 确定二次函数的开口方向

根据系数 \( a \) 的正负判断抛物线的开口方向。若 \( a > 0 \)，抛物线开口向上；若 \( a < 0 \)，抛物线开口向下。

2. 计算判别式 \(\Delta = b^2 - 4ac\)

判别式的值决定二次方程是否有实根：

- 若 \(\Delta > 0\)，方程有两个不同的实根；

- 若 \(\Delta = 0\)，方程有一个重根；

- 若 \(\Delta < 0\)，方程无实根。

3. 确定根的位置

如果有实根，则可以通过公式 \( x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) 求出具体位置。根据根的情况，可以将数轴分为若干区间。

4. 判断各区间的符号

在每个区间内，选择一个测试点代入原不等式验证其符号是否满足条件。最终得到满足不等式的解集。

实例解析

例如，求解不等式 \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)。

- 首先计算判别式：

\[

\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0

\]

因此，该方程有两个不同实根。

- 求根：

\[

x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3

\]

- 数轴划分：

将数轴划分为三个区间：\( (-\infty, 2), (2, 3), (3, +\infty) \)。

- 测试点验证：

在区间 \( (-\infty, 2) \) 中取 \( x = 0 \)，代入原不等式 \( 0^2 - 5 \cdot 0 + 6 > 0 \)，成立；

在区间 \( (2, 3) \) 中取 \( x = 2.5 \)，代入原不等式 \( 2.5^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 < 0 \)，不成立；

在区间 \( (3, +\infty) \) 中取 \( x = 4 \)，代入原不等式 \( 4^2 - 5 \cdot 4 + 6 > 0 \)，成立。

- 最终解集：

\( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)。

总结

一元二次不等式的解法本质上是对二次函数图像的研究。通过分析抛物线的开口方向、顶点位置以及与 \( x \)-轴的交点情况，可以快速准确地得出解集。希望本文的内容能够帮助大家更好地理解并应用这一方法！