在数学领域中，复数是一个非常重要的概念，它不仅扩展了实数的范围，还为解决许多实际问题提供了强大的工具。以下是一些关于复数的基本公式和性质，希望能帮助大家更好地理解和应用复数。

1. 复数的基本形式

复数的标准形式是：

\[ z = a + bi \]

其中 \(a\) 和 \(b\) 是实数，\(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)。

2. 共轭复数

复数 \(z = a + bi\) 的共轭复数记作 \(\overline{z}\)，定义为：

\[ \overline{z} = a - bi \]

3. 模长（绝对值）

复数 \(z = a + bi\) 的模长定义为：

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

4. 幅角（相位）

复数 \(z = a + bi\) 的幅角 \(\theta\) 定义为：

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

5. 复数的加法与减法

两个复数 \(z_1 = a_1 + b_1i\) 和 \(z_2 = a_2 + b_2i\) 的加法和减法分别为：

\[ z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i \]

\[ z_1 - z_2 = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2)i \]

6. 复数的乘法

两个复数 \(z_1 = a_1 + b_1i\) 和 \(z_2 = a_2 + b_2i\) 的乘积为：

\[ z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \]

7. 复数的除法

两个复数 \(z_1 = a_1 + b_1i\) 和 \(z_2 = a_2 + b_2i\) 的商为：

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 - a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2} \]

8. 指数形式

复数可以表示为指数形式：

\[ z = re^{i\theta} \]

其中 \(r = |z|\) 是复数的模长，\(\theta\) 是复数的幅角。

9. 欧拉公式

欧拉公式是复数理论中的一个重要公式，表示为：

\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \]

10. 复数的幂运算

对于复数 \(z = re^{i\theta}\)，其幂运算为：

\[ z^n = r^n e^{in\theta} \]

以上就是一些关于复数的基本公式和性质。复数的应用非常广泛，从物理学、工程学到计算机科学都有它的身影。希望这些公式能帮助你在学习或工作中更加得心应手地处理复数相关的问题。