一次函数与不等式应用题含答案

在数学的学习过程中，一次函数和不等式的结合是一个重要的知识点。它们不仅能够帮助我们解决实际生活中的问题，还能培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。接下来，我们将通过一些具体的例子来探讨如何运用一次函数与不等式来解答实际问题。

案例一：商品销售利润最大化

某商店销售一种商品，已知该商品的进价为每件50元，售价为每件80元。如果每天可以售出100件，那么当售价每降低1元时，销量会增加10件。问如何定价才能使每天的利润最大？

分析：

设售价降低x元，则售价为(80-x)元，销量为(100+10x)件。利润公式为：

\[ \text{利润} = (\text{售价} - \text{进价}) \times \text{销量} \]

代入数据后得到：

\[ \text{利润} = (80-x-50) \times (100+10x) = (30-x) \times (100+10x) \]

化简得：

\[ \text{利润} = 3000 + 300x - 100x - 10x^2 = 3000 + 200x - 10x^2 \]

这是一个关于x的一次函数与二次函数的混合表达式。为了求最大利润，我们需要找到函数的最大值。

通过对函数求导并令其等于零，可以解得x的最佳值。经过计算，当x=10时，利润达到最大。

答案：

售价应定为70元，此时每天的利润最大。

案例二：时间与速度的关系

一辆汽车以匀速行驶，从A地到B地的距离为200公里。如果汽车的速度不低于60公里/小时，且不超过100公里/小时，请计算汽车到达B地所需的时间范围。

分析：

设汽车的速度为v公里/小时，则时间为t小时，关系为：

\[ t = \frac{\text{距离}}{\text{速度}} = \frac{200}{v} \]

根据题目条件，速度v的范围为60≤v≤100。因此，时间t的范围可以通过代入上下限来确定。

当v=60时，\( t = \frac{200}{60} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \)小时；

当v=100时，\( t = \frac{200}{100} = 2 \)小时。

答案：

汽车到达B地所需的时间范围为2至3.33小时。

以上两个案例展示了如何利用一次函数与不等式来解决实际问题。希望这些例子能帮助你更好地理解和掌握这一知识点。如果您有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我！

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