（完整版）因式分解难题及答案
因式分解是数学中一个重要的知识点，它不仅在代数运算中有广泛应用，还为解决更复杂的数学问题奠定了基础。然而，对于许多学生来说，因式分解常常是一个令人头疼的问题。本文将精选一些具有挑战性的因式分解题目，并提供详细的解答过程，帮助大家更好地掌握这一技能。
一、经典因式分解题型
1. 平方差公式
- 题目：分解 $ x^2 - 16 $
- 解答：利用平方差公式 $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $，可得：
$$
x^2 - 16 = (x+4)(x-4)
$$
2. 完全平方公式
- 题目：分解 $ x^2 + 6x + 9 $
- 解答：观察到该式符合完全平方公式 $ a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 $，因此：
$$
x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2
$$
3. 三次方程
- 题目：分解 $ x^3 - 8 $
- 解答：利用立方差公式 $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $，可得：
$$
x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)
$$
二、综合应用题
1. 混合公式
- 题目：分解 $ x^4 - 16 $
- 解答：首先将其视为平方差公式的一部分：
$$
x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)
$$
再对 $ x^2 - 4 $ 进一步分解：
$$
x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x+2)(x-2)
$$
2. 高次多项式
- 题目：分解 $ x^5 - x $
- 解答：提取公因式 $ x $ 后，得到：
$$
x^5 - x = x(x^4 - 1)
$$
再对 $ x^4 - 1 $ 使用平方差公式：
$$
x^5 - x = x(x^2 + 1)(x+1)(x-1)
$$
三、解题技巧与注意事项
1. 提取公因式：在分解多项式时，首先要检查是否可以提取公因式。
2. 公式记忆：熟练掌握平方差公式、完全平方公式和立方差公式是关键。
3. 分步验证：分解完成后，可以通过展开验证结果是否正确。
通过以上题目和解答，相信读者已经对因式分解有了更深入的理解。希望这些练习能够帮助大家在考试中取得更好的成绩！
如果您有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我！
