在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，它能够将时间域上的信号转换为频率域上的表示。这种变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统以及物理学等多个领域。为了便于理解和应用，下面整理了一份常用的傅里叶变换公式表。
1. 连续时间傅里叶变换（CTFT）
定义：
\[ X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt \]
反变换：
\[ x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)e^{j\omega t} d\omega \]
2. 离散时间傅里叶变换（DTFT）
定义：
\[ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n} \]
反变换：
\[ x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n} d\omega \]
3. 离散傅里叶变换（DFT）
定义：
\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k=0,1,...,N-1 \]
反变换：
\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k]e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n=0,1,...,N-1 \]
4. 快速傅里叶变换（FFT）
FFT是计算DFT的一种高效算法，通过分治法减少运算次数。其核心思想是对输入序列进行递归分解，并利用旋转因子来简化计算过程。
5. 常见函数的傅里叶变换对
| 时间域函数 \(x(t)\) | 频率域函数 \(X(\omega)\) |
|---------------------|--------------------------|
| \(1\) | \(2\pi\delta(\omega)\) |
| \(e^{-at}u(t), a>0\) | \(\frac{1}{a+j\omega}\)|
| \(\cos(\omega_0t)\) | \(\pi[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)]\) |
以上就是一些基础且常用的傅里叶变换公式及其对应关系。掌握这些基础知识对于深入研究相关领域的理论和技术至关重要。希望这份公式表能帮助大家更好地理解并运用傅里叶变换这一强大的数学工具。
